Méthodes d'approximation de fonctions

• Interpolations de Lagrange en 1D
• Interpolations continues par morceaux
• Élément de référence et coordonnées de référence
• Approximation par les fonctions Splines
• Méthode de moindres carrés
• Lectures :
  • GTL - Introduction, sections 1.2, 2.2

Séance 2

Différentiation et Intégration numériques en 1D

• Approximation des dérivées
• Méthode des différences finies en 1D
• Intégration numérique en 1D : quadratures de Gauss
• Lectures :
  • QSG - chapitre 3

Séances  3 et 4

La  MEF en 1D

• Méthode des résidus pondérés
• Formulation variationnelle forte
• Formulation variationnelle faible : méthode de Galerkin
• Élément de référence, coordonnées de référence à une dimension
• Discrétisation et représentation matricielle
• Exemples d’application en transfert de chaleur et calcul des structures à une dimension
• Lectures :
  • FB – chapitres 7, 4 & 5
  • GTL – chapitre 3

Séance 5

Éléments et fonctions d’interpolation en plusieurs dimensions

• Approximations polynomiales de Lagrange, terminologie, élément de type C⁰ et C¹
• Élément de référence, coordonnées de référence
• Éléments en deux dimensions de type C⁰
• Éléments en trois dimensions de type C⁰
• Calcul des dérivées : matrice Jacobienne
• Lectures :
  • FB – chapitre 7
  • GTL – chapitre 3

Séances 6 et 7

Problèmes aux limites à fonction scalaire en deux dimensions, exemple du transfert de chaleur

• Modélisation mathématique du problème
• Formulations variationnelles forte et faible
• Discrétisation par éléments finis, intégration numérique et représentation matricielle
• Lectures :
  • FB – chapitres 6, 7 & 8
  • GTL – chapitres 3 & 4

Séance 8

Problèmes instationnaires

• Discrétisation en temps par différences finies : schémas explicites et implicites
• Résolution par superposition modale
• Applications
• Lectures :
  • GTL – section 5.4
  • QSG – chapitre 8

Examen intra : 7 mars 2023

Séances 9 et 10

Problèmes aux limites à fonction vectorielle : exemple d'élasticité linéaire

• Équations d’équilibre en trois dimensions et en plan
• Formulations variationnelles forte et faible, principe des travaux virtuels
• Discrétisation par éléments finis, représentation matricielle
• Lectures :
  • FB – chapitre 9
  • GTL – chapitres 3 & 4

Projet : Développement d'un programme élémentaire d'éléments finis

Séances 11 et 12

La contrainte d'incompressibilité

• La condition d’incompressibilité en élasticité linéaire
• La condition d’incompressibilité en écoulements incompressibles: le problème de Stokes
• Méthode d’éléments finis stabilisée
• Lectures :
  • TH – chapitre 4

Séance 13

Aperçu sur les problèmes non linéaires

• Non linéarités matérielle et géométrique
• Algorithmes de résolution : méthodes de Newton-Raphson et quasi-Newton
• Plasticité : algorithme de projection
• Lectures :
  • GTL – sections 5.2 & 5.3