Maîtriser la modélisation mathématique des systèmes et les notions de mathématiques avancées souvent rencontrées dans les publications scientifiques et méthodes numériques couramment utilisées pour résoudre les modèles mathématiques des systèmes.

Modélisation mathématique des systèmes continus. Dérivation d'équations aux dérivées partielles. Classification des équations aux dérivées partielles : elliptique, hyperbolique et parabolique. Exemples d'applications physiques. Méthodes de solution : séries de Fourier, fonction de Green, variable complexe. Méthodes variationnelles : fonctionnelle et extremum d'une fonctionnelle, méthode de Ritz, méthodes approchées. Introduction aux tenseurs cartésiens.

1. Maîtriser les principaux concepts en lien avec les équations différentielles, plus précisément les systèmes dynamiques et les équations aux dérivées partielles.
2. Acquérir des techniques et des méthodes de résolution (analytique et numérique) pour les équations différentielles.
3. Appliquer les notions théoriques à un problème physique et interpréter les solutions obtenues au contexte d’application.
4. Savoir utiliser un logiciel de calcul mathématique pour étudier, illustrer et résoudre des problèmes modélisés par des systèmes dynamiques et des équations aux dérivées partielles.

Chaque semaine comprend une séance de cours magistral (3 heures) et une séance de travaux pratiques (2 heures). Les notions théoriques et des exemples sont présentés pendant la séance de cours. La séance de travaux pratiques est consacrée à faire des exercices, à apporter des éclaircissements sur la théorie et, s’il y a lieu, à compléter le cours magistral par certaines démonstrations ou certains exemples.

Utilisation d’un logiciel de calcul mathématique

Le logiciel libre SageMath est requis pour ce cours. Il est gratuit et disponible pour tous les systèmes d’exploitation (Windows, MacOS, Linux). SageMath permet de faire à la fois du calcul symbolique et du calcul numérique. Il utilise une syntaxe basée sur le langage de programmation Python et regroupe plusieurs librairies existantes telles que NumPy, SciPy, Matplotlib et SymPy.

Le logiciel sera utilisé de façon continue tout au long de la session pour automatiser certaines procédures, pour illustrer des concepts pratiques tout comme théoriques et pour visualiser graphiquement des solutions à différents problèmes. Par conséquent, chaque étudiante et étudiant doit installer le logiciel SageMath afin de pouvoir l’utiliser en tout temps.