Notions préalables
Ce cours présente des notions avancées du domaine des équations différentielles. Il nécessite des notions d'algèbre linéaire, de calcul différentiel et intégral à plusieurs variables et d'équations différentielles ordinaires. Il est attendu que chaque étudiante ou étudiant inscrit au cours ait acquis ces principales notions mathématiques à travers une formation universitaire en génie.
Structure du cours
Le cours est divisé en 2 parties. La liste des sujets prévus pour chaque partie est détaillée ci-dessous. Il est à noter que le temps alloué aux thématiques abordées peut changer au cours du trimestre. Référez-vous au site web du cours (Moodle) pour le calendrier à jour.
Partie 1 : Systèmes dynamiques (~18 heures)
-
Introduction au cours. Rappel des équations différentielles ordinaires (EDO) : définitions et méthodes de résolution (séparation de variables, méthode d'Euler et méthode de Runge-Kutta).
-
Système dynamique de dimension 1 : portrait de phase, points fixes et stabilité, analyse de stabilité linéaire, existence et unicité des solutions, solutions non-périodiques, bifurcations.
-
Systèmes dynamiques de dimension 2 :
-
Systèmes linéaires : points critiques et stabilité, portrait de phase, éléments d’algèbre linéaire (valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation).
-
Systèmes canoniques et similaires : formes canoniques de Jordan, classification des points fixes, matrice exponentielle.
-
Systèmes non linéaires : linéarisation, matrice jacobienne, point fixe hyberbolique, théorème de Hartman-Grobman, système conservatif, variétés stables et instables, bassin d'attraction, orbite fermée et cycle limite, théorème de Poincaré-Bendixson.
-
Applications des systèmes dynamiques : pendule, équations de Lotka-Volterra, oscillateur de Van der Pol.
-
Sujets spéciaux (si le temps le permet) : chaos, attracteurs étranges.
Partie 2 : Équations aux dérivées partielles (~18 heures)
-
Introduction aux équations aux dérivées partielles (EDP) : définitions, classification des équations aux dérivées partielles d'ordre 2 (elliptique, hyperbolique et parabolique), conditions aux bords et conditions initiales, problème bien-posé.
-
Équation d'advection (transport) : dérivation de l'EDP, caractéristiques, problème de Cauchy.
-
Équation des ondes : modèle de la corde vibrante, solution générale, solution de d’Alembert, ondes stationnaires, domaine de dépendance et domaine d'influence, méthode de séparation de variables, problème de Sturm-Liouville, harmoniques.
-
Séries de Fourier : définition, théorème de Dirichlet, fonctions périodiques paires et impaires, séries complexes, transformée de Fourier.
-
Équation de la chaleur (diffusion) : dérivation de l'EDP, principe du maximum, noyau de la chaleur.
-
Équation de Laplace : problème de Dirichlet.
-
Sujets spéciaux (si le temps le permet) : résolution numérique d'EDP, introduction aux EDP non linéaires.