Au terme de ce cours, l’étudiant ou l'étudiante aura acquis des méthodes de solution de différents types d'équations différentielles rencontrées dans les travaux d'ingénierie.

Origine et définition, famille de solutions, conditions initiales, équations différentielles du premier ordre : séparables exactes, linéaires. Applications : mouvement rectiligne, circuits électriques, etc. Équations différentielles linéaires à coefficients constants : solutions complémentaires (homogènes) et solutions particulières, méthode des coefficients indéterminés (variation des paramètres, opérateur inverse); applications : mouvement harmonique et circuits électriques. Transformées de Laplace en équations différentielles, applications, systèmes d'équations différentielles. Solutions d'équations différentielles par séries, méthodes numériques en équations différentielles. Séries de Fourier, résolutions d'équations différentielles par séries de Fourier.

Séances de travaux pratiques composées d'exercices choisis pour illustrer et compléter la théorie vue en classe.

Objectifs généraux

À la fin du cours, l’étudiante ou l'étudiant sera en mesure de :

1. Comprendre les concepts et les méthodes de résolution des équations différentielles ordinaires.
2. Résoudre des problèmes d'application modélisés par des équations différentielles.
3. Utiliser un logiciel de calcul symbolique pour résoudre des problèmes et vérifier des calculs.

Objectifs spécifiques

Dans la 1^re partie du cours :

1. Comprendre les concepts et les méthodes de résolution des équations différentielles ordinaires.
   • Maîtriser les définitions et le vocabulaire en lien avec les équations différentielles.
   • Déterminer si une fonction (relation) est une solution d'une équation différentielle.
   • Résoudre les équations différentielles d'ordre 1 analytiquement avec la méthode appropriée.
   • Déterminer la solution générale d'une équation différentielle d'ordre 2 (et plus) en trouvant la solution homogène et la solution particulière avec la méthode appropriée.
2. Résoudre des problèmes d'application modélisés par des équations différentielles.
   • Interpréter la solution d'une équation différentielle modélisant un phénomène de croissance ou décroissance exponentielle (loi de refroidissement, mouvement rectiligne, circuits RL et RC).
3. Utiliser un logiciel de calcul symbolique pour résoudre des problèmes et vérifier des calculs.
   • Tracer un champ de pentes et des solutions numériques calculées avec la méthode d'Euler.
   • Trouver une solution générale ou particulière à une équation différentielle.

Dans la 2^e partie du cours :

1. Comprendre les concepts et les méthodes de résolution des équations différentielles ordinaires.
   • Résoudre une équation différentielle ou un système d'équations différentielles linéaires avec la transformée de Laplace.
   • Donner la valeur approximative en un point de la solution numérique trouvée avec l'algorithme de Runge-Kutta.
   • Trouver une solution exprimée en série de puissances et déterminer l’intervalle de convergence de cette série.
   • Calculer la série de Fourier d'une fonction périodique.
2. Résoudre des problèmes d'application modélisés par des équations différentielles.
   • Modéliser une force externe à l'aide de fonctions spéciales (delta de Dirac et fonction échelon unité).
   • Interpréter la solution d'une équation différentielle modélisant un oscillateur harmonique (mouvement harmonique et circuit RLC).
   • Déterminer la partie transitoire et le régime permanent de la solution d'un système forcé.
3. Utiliser un logiciel de calcul symbolique pour résoudre des problèmes et vérifier des calculs.
   • Utiliser la librarie ETS_specfunc pour la résolution d'équations différentielles avec la transformée de Laplace.
   • Calculer des coefficients d'une série de puissances à l'aide d'une relation de récurrence.
   • Superposer dans un même graphique la solution numérique obtenue avec Runge-Kutta et la solution obtenue en série de puissances.
   • Calculer les coefficients de Fourier.
   • Tracer une fonction périodique avec les premiers termes de sa série de Fourier.

Trois heures de cours magistral par semaine. De nombreux exemples seront faits en classe pour permettre aux étudiantes et étudiants de bien assimiler la théorie et les techniques présentées durant le cours.

Les 3 heures hebdomadaires de travaux pratiques pourront servir à travailler les exercices distribués, à demander des éclaircissements sur les notions vues au cours, et à compléter le cours magistral par certaines démonstrations ou certains exemples s’il y a lieu.