Au terme de ce cours, l’étudiant ou l'étudiante aura acquis des méthodes de solution de différents types d'équations différentielles rencontrées dans les travaux d'ingénierie.

Origine et définition, famille de solutions, conditions initiales, équations différentielles du premier ordre : séparables exactes, linéaires. Applications : mouvement rectiligne, circuits électriques, etc. Équations différentielles linéaires à coefficients constants : solutions complémentaires (homogènes) et solutions particulières, méthode des coefficients indéterminés (variation des paramètres, opérateur inverse); applications : mouvement harmonique et circuits électriques. Transformées de Laplace en équations différentielles, applications, systèmes d'équations différentielles. Solutions d'équations différentielles par séries, méthodes numériques en équations différentielles. Séries de Fourier, résolutions d'équations différentielles par séries de Fourier.

Séances de travaux pratiques composées d'exercices choisis pour illustrer et compléter la théorie vue en classe.

Objectifs généraux

À la fin du cours, l’étudiante ou l'étudiant sera en mesure de :

1. Comprendre les concepts et les méthodes de résolution des équations différentielles ordinaires.
2. Résoudre des problèmes d'application modélisés par des équations différentielles.
3. Utiliser un logiciel de calcul symbolique pour résoudre des problèmes et vérifier des calculs.

Objectifs spécifiques

Dans la 1^re partie du cours :

1. Comprendre les concepts et les méthodes de résolution des équations différentielles ordinaires.
   • Maîtriser les définitions et le vocabulaire en lien avec les équations différentielles.
   • Déterminer si une fonction (relation) est une solution d'une équation différentielle.
   • Résoudre les équations différentielles d'ordre 1 analytiquement avec la méthode appropriée.
   • Déterminer la solution générale d'une équation différentielle d'ordre 2 (et plus) en trouvant la solution homogène et la solution particulière avec la méthode appropriée.
2. Résoudre des problèmes d'application modélisés par des équations différentielles.
   • Interpréter la solution d'une équation différentielle modélisant un phénomène de croissance ou décroissance exponentielle (loi de refroidissement, mouvement rectiligne, circuits RL et RC).
3. Utiliser un logiciel de calcul symbolique pour résoudre des problèmes et vérifier des calculs.
   • Tracer un champ de pentes et des solutions numériques calculées avec la méthode d'Euler.
   • Trouver une solution générale ou particulière à une équation différentielle.

Dans la 2^e partie du cours :

1. Comprendre les concepts et les méthodes de résolution des équations différentielles ordinaires.
   • Résoudre une équation différentielle ou un système d'équations différentielles linéaires avec la transformée de Laplace.
   • Donner la valeur approximative en un point de la solution numérique trouvée avec l'algorithme de Runge-Kutta.
   • Trouver une solution exprimée en série de puissances et déterminer l’intervalle de convergence de cette série.
   • Calculer la série de Fourier d'une fonction périodique.
2. Résoudre des problèmes d'application modélisés par des équations différentielles.
   • Modéliser une force externe à l'aide de fonctions spéciales (delta de Dirac et fonction échelon unité).
   • Interpréter la solution d'une équation différentielle modélisant un oscillateur harmonique (mouvement harmonique et circuit RLC).
   • Déterminer la partie transitoire et le régime permanent de la solution d'un système forcé.
3. Utiliser un logiciel de calcul symbolique pour résoudre des problèmes et vérifier des calculs.
   • Utiliser la librarie ETS_specfunc pour la résolution d'équations différentielles avec la transformée de Laplace.
   • Calculer des coefficients d'une série de puissances à l'aide d'une relation de récurrence.
   • Superposer dans un même graphique la solution numérique obtenue avec Runge-Kutta et la solution obtenue en série de puissances.
   • Calculer les coefficients de Fourier.
   • Tracer une fonction périodique avec les premiers termes de sa série de Fourier.

Trois heures de cours magistral par semaine. De nombreux exemples seront faits en classe pour permettre aux étudiantes et étudiants de bien assimiler la théorie et les techniques présentées durant le cours.

Les 3 heures hebdomadaires de travaux pratiques pourront servir à travailler les exercices distribués, à demander des éclaircissements sur les notions vues au cours, et à compléter le cours magistral par certaines démonstrations ou certains exemples s’il y a lieu.

Une calculatrice symbolique TI Nspire CX II CAS est requise pour ce cours et certaines questions d’examen vont vérifier son utilisation. Elle sera utilisée de façon continue, tout au long de la session : pour automatiser certaines procédures, pour illustrer des concepts pratiques tout comme théoriques et pour visualiser graphiquement des solutions à des problèmes concrets en mathématiques et en sciences du génie. Les logiciels Derive, Maple, Matlab, SageMath ou TI-Nspire CAS pourront être présentés par l'enseignante ou l'enseignant et être requis pour certains devoirs.

Devoirs et/ou mini-tests

Votre enseignante ou votre enseignant vous communiquera les modalités de ces évaluations.

Examen intra en deux parties

L'examen intra est d'une durée totale de 3 heures. Il comportera deux parties: une première où la calculatrice est interdite et une deuxième où l'usage de la calculatrice TI-Nspire CX CAS est autorisé. L'examen intra portera sur le contenu des cours 1 à 6, tel que décrit à la section « Cours ». Votre enseignante ou votre enseignant vous communiquera les modalités et le local de l'examen.

Examen final en deux parties

L’examen final est d’une durée totale de 3 heures. Il comportera deux parties: une première où la calculatrice est interdite et une deuxième où l'usage de la calculatrice TI-Nspire CX CAS est autorisé. L'examen final portera sur le contenu des cours 8 à 13, tel que décrit à la section « Cours ». L'examen final est commun à tous les groupes de MAT265. L'ordinateur portable et la documentation électronique sont interdits.

Documentation papier permise pour l’examen final :

• Un résumé personnel de 3 feuilles 8½×11, recto verso (6 pages);
• Une table de transformées de Laplace (2 pages);
• Une table de séries de Fourier (2 pages);
• Un aide-mémoire d'algèbre et de trigonométrie (2 pages);
• Une table de règles et formules de dérivation et d'intégration (1 page).

Voir la section « Documents » du Moodle du cours pour des copies de chacune des tables et de l'aide-mémoire.

Double seuil

Une note moyenne pondérée de 50 % est exigée pour l’ensemble des évaluations à caractère individuel. Ce seuil est une condition nécessaire à la réussite du cours mais ne la garantit pas.

PICARD, Gilles. MAT265 Équations différentielles. Notes de cours et exercices : Volume 1 (version de novembre 2023) et Volume 2 (version du 28 mars 2023)

Ces notes de cours seront en vente à la COOP. Elles sont également disponibles en format PDF sur Moodle dans la section « Références ».

BOYCE, William E. et Richard C. DIPRIMA. Équations différentielles, Chenelière / McGraw-Hill, 2002.

EDWARDS, C. Henry & David E. PENNY. Differential Equations. Computing and Modeling. 4th Edition. Prentice Hall, 2008.

KOSTELICH, Eric J. & Dieter ARMBRUSTER, Introductory Differential Equations, Addison-Wesley, 1997.

NAGLE, R. K. et E. SAFF. Fundamental of Differential Equation, 7th Edition, Addison Wesley, 2008.

POLKING, BOGGESS et ARNOLD, Differential Equations, Prentice Hall, 2001.

SOUCY, Luc. MAT265 Équations différentielles. Notes de cours et exercices (version de mars 2016).
Ce document est disponible sur Moodle dans la section « Références ».

• Moodle du cours : https://cours.etsmtl.ca/mat265/
• Site web sur l'utilisation de la calculatrice TI-Nspire CX II CAS : http://seg-apps.etsmtl.ca/nspire/
• Chaîne YouTube de vidéos sur l'utilisation de Nspire à l'ÉTS : VunETS et sa table des matières
• Site internet de support de Gilles Picard : http://luciole.ca/gilles/mat265/