Maîtriser la modélisation mathématique des systèmes et les notions de mathématiques avancées souvent rencontrées dans les publications scientifiques et méthodes numériques couramment utilisées pour résoudre les modèles mathématiques des systèmes.

Modélisation mathématique des systèmes continus. Dérivation d'équations aux dérivées partielles. Classification des équations aux dérivées partielles : elliptique, hyperbolique et parabolique. Exemples d'applications physiques. Méthodes de solution : séries de Fourier, fonction de Green, variable complexe. Méthodes variationnelles : fonctionnelle et extremum d'une fonctionnelle, méthode de Ritz, méthodes approchées. Introduction aux tenseurs cartésiens.

1. Maîtriser les principaux concepts en lien avec les équations différentielles, plus précisément les systèmes dynamiques et les équations aux dérivées partielles.
2. Acquérir des techniques et des méthodes de résolution (analytique et numérique) pour les équations différentielles.
3. Appliquer les notions théoriques à un problème physique et interpréter les solutions obtenues au contexte d’application.
4. Savoir utiliser un logiciel de calcul mathématique pour étudier, illustrer et résoudre des problèmes modélisés par des systèmes dynamiques et des équations aux dérivées partielles.

Chaque semaine comprend une séance de cours magistral (3 heures) et une séance de travaux pratiques (2 heures). Les notions théoriques et des exemples sont présentés pendant la séance de cours. La séance de travaux pratiques est consacrée à faire des exercices, à apporter des éclaircissements sur la théorie et, s’il y a lieu, à compléter le cours magistral par certaines démonstrations ou certains exemples.

Utilisation d’un logiciel de calcul mathématique

Le logiciel libre SageMath est requis pour ce cours. Il est gratuit et disponible pour tous les systèmes d’exploitation (Windows, MacOS, Linux). SageMath permet de faire à la fois du calcul symbolique et du calcul numérique. Il utilise une syntaxe basée sur le langage de programmation Python et regroupe plusieurs librairies existantes telles que NumPy, SciPy, Matplotlib et SymPy.

Le logiciel sera utilisé de façon continue tout au long de la session pour automatiser certaines procédures, pour illustrer des concepts pratiques tout comme théoriques et pour visualiser graphiquement des solutions à différents problèmes. Par conséquent, chaque étudiante et étudiant doit installer le logiciel SageMath afin de pouvoir l’utiliser en tout temps.

Notions préalables

Ce cours présente des notions avancées du domaine des équations différentielles. Il nécessite des notions d'algèbre linéaire, de calcul différentiel et intégral à plusieurs variables et d'équations différentielles ordinaires. Il est attendu que chaque étudiante ou étudiant inscrit au cours ait acquis ces principales notions mathématiques à travers une formation universitaire en génie.

Structure du cours

Le cours est divisé en 2 parties. La liste des sujets prévus pour chaque partie est détaillée ci-dessous. Il est à noter que le temps alloué aux thématiques abordées peut changer au cours du trimestre. Référez-vous au site web du cours (Moodle) pour le calendrier à jour.

Partie 1 : Systèmes dynamiques (~18 heures)

• Introduction au cours. Rappel des équations différentielles ordinaires (EDO) : définitions et méthodes de résolution (séparation de variables, méthode d'Euler et méthode de Runge-Kutta).

• Système dynamique de dimension 1 : portrait de phase, points fixes et stabilité, analyse de stabilité linéaire, existence et unicité des solutions, solutions non-périodiques, bifurcations.

• Systèmes dynamiques de dimension 2 :

  • Systèmes linéaires : points critiques et stabilité, portrait de phase, éléments d’algèbre linéaire (valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation).

  • Systèmes canoniques et similaires : formes canoniques de Jordan, classification des points fixes, matrice exponentielle.

  • Systèmes non linéaires : linéarisation, matrice jacobienne, point fixe hyberbolique, théorème de Hartman-Grobman, système conservatif, variétés stables et instables, bassin d'attraction, orbite fermée et cycle limite, théorème de Poincaré-Bendixson.

• Applications des systèmes dynamiques : pendule, équations de Lotka-Volterra, oscillateur de Van der Pol.

• Sujets spéciaux (si le temps le permet) : chaos, attracteurs étranges.

Partie 2 : Équations aux dérivées partielles (~18 heures)

• Introduction aux équations aux dérivées partielles (EDP) : définitions, classification des équations aux dérivées partielles d'ordre 2 (elliptique, hyperbolique et parabolique), conditions aux bords et conditions initiales, problème bien-posé.

• Équation d'advection (transport) : dérivation de l'EDP, caractéristiques, problème de Cauchy.

• Équation des ondes : modèle de la corde vibrante, solution générale, solution de d’Alembert, ondes stationnaires, domaine de dépendance et domaine d'influence, méthode de séparation de variables, problème de Sturm-Liouville, harmoniques.

• Séries de Fourier : définition, théorème de Dirichlet, fonctions périodiques paires et impaires, séries complexes, transformée de Fourier.

• Équation de la chaleur (diffusion) : dérivation de l'EDP, principe du maximum, noyau de la chaleur.

• Équation de Laplace : problème de Dirichlet.

• Sujets spéciaux (si le temps le permet) : résolution numérique d'EDP, introduction aux EDP non linéaires.

Devoirs (40%)

• Il y aura au minimum un devoir pour chacune des deux parties du cours.
• Les modalités des devoirs seront communiquées en classe.

Examen intra (30%)

• L'examen intra portera sur la partie 1 « Systèmes dynamiques ».
• L'examen aura lieu en classe et sera d'une durée de 3 heures.
• La documentation permise pour l'examen intra sera annoncée en classe.

Examen final (30%)

• L'examen final portera sur la partie 2 « Équations aux dérivées partielles ».
• L'examen final aura lieu pendant la période des examens finaux et sera d'une durée de 3 heures.
• La documentation permise pour l'examen final sera annoncée en classe.

Aucune documentation obligatoire.

Des notes de cours partielles seront distribuées à la classe et elles seront complétées pendant les séances de cours avec l'enseignant. Des documents complémentaires seront disponibles sur Moodle au cours de la session.

Arnold, V. Équations Différentielles Ordinaires. Mir, 1974.

Arrowsmith, D. K, et C. M Place. Dynamical Systems : Differential Equations, Maps and Chaotic Behaviour. Routledge, 2017.

Guckenheimer, John, et Philip Holmes. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcation of Vector Fields. Springer-Verlag, 1983.

Haberman, Richard. Applied Partial Differential Equations : With Fourier Series and Boundary Value Problems. 4e ed., Pearson Prentice Hall, 2004.

Kreyszig, Erwin, et al. Advanced Engineering Mathematics. 10e ed., John Wiley & Sons, 2011.

Olver, Peter J. Introduction to Partial Differential Equations. Springer, 2014.

Simmons, George Finlay, et John S Robertson. Differential Equations with Applications and Historical Notes. 2e ed., McGraw-Hill, 1991.

Strauss, Walter A. Partial Differential Equations : An Introduction. J. Wiley, 1992.

Strogatz, Steven Henry. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. 2e ed., Westview Press, 2015.

• Moodle du cours : MAT805
• Site web de SageMath : https://www.sagemath.org/