Familiariser l'étudiant(e) avec la modélisation mathématique des systèmes, les notions mathématiques avancées souvent rencontrées dans les publications scientifiques et les méthodes numériques couramment appliquées pour résoudre les modèles mathématiques des systèmes. Modélisation mathématique des systèmes continus. Dérivation d'équations aux dérivées partielles. Classification des équations aux dérivées partielles : elliptique, hyperbolique et parabolique. Exemples d'applications physiques. Méthodes de solution : séries de Fourier, fonction de Green et variable complexe. Méthodes variationnelles : fonctionnelle et extrémum d'une fonctionnelle, méthode de Ritz et méthodes rapprochées.

−   Introduire l'étudiant à certaines techniques mathématiques nouvelles pour la solution de problèmes mathématiques reliés à la physique.

−   Initier l'étudiant à la modélisation des milieux continus ainsi qu'aux méthodes de résolution.

−   Faire une introduction aux variables complexes et à l'analyse vectorielle.

−   Projets individuels pour faire assimiler les techniques nouvelles.

−   Trois (3) heures de cours par semaine.

1.     Introduction

Solution d'équations linéaires et non linéaires, méthode de Newton, décomposition LU, méthode de relaxation, interpolation, minimisation et maximisation et propagation des erreurs.

2.     Rappel des équations différentielles ordinaires

Différentiation et intégration, application des splines et prédicteur correcteur.

3.     Équations aux dérivées partielles

Équations elliptiques : équations de Laplace et de Poisson. Équations paraboliques méthode de Crank-Nicolson.
Équations hyperboliques : équations d'ondes, méthode d'Alembert, critères de stabilité et de convergence.

4.     Variables complexes

Méthodes spectrales, analyse de Fourier, séries de Fourier, fonction de Green, intégration complexe, théorème des résidus et représentation conforme.

5.     Calcul des variations

Extrémum d'une fonction, Euler-Lagrange, principe d'Hamilton et extrémum d'une fonctionnelle, méthode de Ritz, méthodes rapprochées.

Retard de remise des travaux: 10% de pénalité par jour jusqu'à concurrence de 5 jours.

Aucune référence obligatoire.

GÉRALD, C.F., WHEATLEY, P.O., Applied Numerical Analysis Seventh Edition, Pearson

Education Inc., 2004 (ISBN 0-321-13304-8).

LAMARCHE, L., Compléments de mathématique, MAT800, ÉTS, Décembre 1996. BURDEN, R.L., FAIRES, J.D., Numerical Analysis, 5th Ed., PWS Publishing Co., Boston,

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MATLAB and Simulink Student Version Release 2009a. I(SBN 13-978-0-9792239-9)

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