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École de technologie supérieure

Responsable(s) de cours : Jean-Philippe Labbé


PLAN DE COURS

Été 2026
MAT215 : Logique et mathématiques discrètes pour l’optimisation (4 crédits)


Préalables
Pour tous profils : MAT145



Description du cours
Ce cours vise à acquérir les concepts de logique du premier ordre et de mathématiques discrètes pour la résolution de divers problèmes.

Au terme de ce cours, la personne étudiante sera en mesure de :
  • appliquer des méthodes de la logique et des mathématiques discrètes;
  • résoudre des problèmes à l'aide de la logique et des mathématiques discrètes;
  • concevoir la preuve d'un résultat mathématique;
  • analyser la complexité d'algorithmes simples;
  • communiquer ses démarches de façon claire et structurée;
  • utiliser un logiciel de calcul symbolique.


Éléments de contenu : logique propositionnelle. Méthodes de preuves. Théorie des ensembles. Modélisation des contraintes d'un problème d'optimisation, notion de solutions admissibles ou optimales. Théorie des graphes : terminologie, représentations, chemins et circuits, arbres, algorithmes. Comportement asymptotique des fonctions et complexité des algorithmes. Principe de récursivité et preuves par récurrence.

Cours préalable : MAT145 Calcul différentiel et intégral (4 cr.)

Cours concomitant : INF130 Ordinateurs et programmation (4 cr.), sauf Profil I



Stratégies pédagogiques

Trois heures de cours magistral par semaine. De nombreux exemples seront faits en classe pour permettre aux étudiantes et étudiants de bien assimiler la théorie et les techniques présentées durant le cours.

Les 3 heures hebdomadaires de travaux pratiques pourront servir à travailler les exercices distribués, à demander des éclaircissements sur les notions vues au cours, et à compléter le cours magistral par certaines démonstrations ou certains exemples s’il y a lieu.



Informations concernant l’agrément du BCAPG
Ce cours compte 64,8 unités d'agrément réparties comme suit :

Catégories de UA Nombre Proportion Matière(s) traitée(s)
Mathématiques 64,8 UA 100,00 %



Les objectifs de ce cours sont liés aux indicateurs de qualités requises des diplômés de la manière suivante :

Objectif spécifique Qualité Indicateur Niveau d'enseignement
Appliquer des méthodes de la logique et des mathématiques discrètes. Q1 . Connaissances en génie i1 . Résoudre des problèmes mathématiques Introduit
Résoudre des problèmes à l'aide de la logique et des mathématiques discrètes. Q1 . Connaissances en génie i1 . Résoudre des problèmes mathématiques Introduit
Concevoir la preuve d'un résultat mathématique. Q1 . Connaissances en génie i1 . Résoudre des problèmes mathématiques Introduit
Analyser la complexité d'algorithmes simples. Q1 . Connaissances en génie i1 . Résoudre des problèmes mathématiques Introduit
Communiquer ses démarches de façon claire et structurée. Q1 . Connaissances en génie i1 . Résoudre des problèmes mathématiques Introduit
Utiliser un logiciel de calcul symbolique. Q1 . Connaissances en génie i1 . Résoudre des problèmes mathématiques Introduit


Utilisation d’appareils électroniques

Afin de permettre une participation active en classe, il est obligatoire que chaque étudiante et étudiant possède une calculatrice TI-Nspire CX II CAS (ou l'ancien modèle TI-Nspire CX CAS). Ces calculatrices sont en vente à la COOP en combo avec le logiciel Nspire. La calculatrice symbolique sera utilisée tout au long de la session pour illustrer des concepts mathématiques, pour effectuer des calculs, des manipulations algébriques et même pour implémenter certains algorithmes. L’utilisation efficace de cet outil sera vérifiée lors des examens. Pour de l’aide sur l’utilisation de cette calculatrice symbolique, visitez le site TI-Nspire à l'ÉTS.

Voici des objectifs spécifiques d’apprentissage concernant l’utilisation de la calculatrice TI-Nspire CAS CX:

  1. Connaître la syntaxe des expressions logiques.
  2. Connaître le fonctionnement de l’éditeur de programmes et de fonctions.
  3. Définir une relation de récurrence et obtenir les premiers termes.
  4. Effectuer différentes opérations matricielles.

Le programme Excel sera utilisé pour trouver des solutions optimales à des problèmes de programmation linéaire dans le chapitre sur la modélisation. L'utilisation du solveur sera présentée.



Horaire
Groupe Jour Heure Activité
01 Mercredi 09:00 - 12:00 Travaux pratiques
Vendredi 09:00 - 12:30 Activité de cours



Coordonnées du personnel enseignant le cours
Groupe Nom Activité Courriel Local Disponibilité
01 Justin Bélair Activité de cours Justin.Belair@etsmtl.ca B-2518
01 Travaux pratiques



Cours
Cours Matière Chapitres des notes de cours Heures

1 - 2

Logique propositionnelle. Équivalences propositionnelles. Prédicats et quantificateurs. Règles d'inférence. Cohérence d’un ensemble de spécifications.

1

6

3

Types de preuve. Théorie des ensemble : opérations sur les ensembles. Fonctions.

1

3

4

Dénombrement. Principe d'addition et du produit. Structures: permutations, arrangements et combinaisons.

8

3

5

Modélisation. Identification des variables, des contraintes et de la fonction-objectif dans un problème d'optimisation. Solution admissible, solution optimale.

2

3

6

Introduction aux graphes : types de graphes (non-orienté, orienté, arbre), terminologie, représentations et utilisation. Structures reliées: matrice d’adjacence, chemin, cycle (circuit), connexité. Dénombrement de chemins.

3

3

7

Examen intra portant sur les cours 1 à 6

 

3

8-9

Chemins dans les graphes : Chemins et cycles eulériens et hamiltoniens. Problème du plus court chemin (algorithme de Dijkstra), tri topologique (algorithme de Kahn), chemin de poids maximal (chemin critique) et applications.

3

6

 10

Arbres: théorèmes sur les arbres, arbre couvrant de poids minimal (algorithme de Prim).

4

1.5

10-11

Introduction à la complexité des algorithmes: mesurer un temps de calcul à l’aide d’une fonction, notation grand-O et grand-Θ, résolution de sommations, fonction de complexité d’un algorithme. Calcul de complexité d'algorithmes simples.

5

4.5

12

Algorithmes récursifs. Fonctions récursives et relations de récurrence. Algorithmes de type diviser pour régner.

6

3

13

Preuves par récurrence. Principe de récurrence forte. Preuve de validité d’un algorithme récursif. Dénombrement par relation de récurrence.

7

3

Total

39



Laboratoires et travaux pratiques

Trois heures de travail pratique par semaine seront consacrées à travailler les exercices hebdomadaires, à demander des éclaircissements sur les notions vues dans le cours et à compléter le cours magistral par certaines démonstrations ou certains exemples.



Utilisation d'outils d'ingénierie

S.O.


Évaluation


Informations additionnelles :
Mode d'évaluation Pondération Utilisé dans le double seuil
 Deux tests 2 x 15 % Oui
 Examen intra (3h) 35 % Oui
 Examen final (3h) 35 % Oui

 

Examen intra

L'examen intra est d'une durée totale de 3 heures. Il comporte deux parties: une première sans la calculatrice et une deuxième où l'usage de la calculatrice TI-Nspire CX CAS est permis. Il porte sur le contenu des cours 1 à 6 tel que décrit à la section « Cours ». Les modalités de l'examen seront communiquées par l'enseignante ou l'enseignant  de chaque cours-groupe.

Examen final

L’examen final est d’une durée totale de 3 heures. Il comporte deux parties: une première sans la calculatrice et une deuxième où l'usage de la calculatrice TI-Nspire CX CAS est permis. L'examen porte sur le contenu des cours 8 à 13 tel que décrit à la section « Cours ».  L'ordinateur portable et la documentation électronique sont interdits.

Documentation papier permise pour l’examen final (voir la page Moodle du cours pour des copies) :

  • La feuille « MAT210 et MAT215 - Tables »;
  • La feuille « MAT215 - Théorèmes »;
  • La feuille « MAT215 - Algorithmes ».

 

Double seuil 

Une note moyenne pondérée de 55 % est exigée pour l’ensemble des évaluations à caractère individuel. Ce seuil est une condition nécessaire à la réussite du cours mais ne la garantit pas. Les deux tests, l'examen intra et l'examen final sont utilisés pour le calcul du double seuil.


Seuil de passage pour les éléments à caractère individuel

Note minimale : 55



Dates des examens intra
Groupe(s) Date
1 17 juin 2026



Politique de retard des travaux
Conformément au Règlement des études de premier cycle (article 7.5.6) et au Règlement des études de cycles supérieurs (article 6.5.6), tout travail (devoir pratique, rapport de laboratoire, rapport de projet, etc.) remis en retard sans motif valable, c’est-à-dire autre que ceux mentionnés à l’article 7.5.5.1 dans le Règlement des études de premier cycle et l’article 6.5.2 dans le Règlement des études de cycles supérieurs, se verra attribuer la note zéro, à moins que d’autres dispositions soient communiquées par écrit par la personne enseignante dans les consignes de chaque travail à remettre ou dans le plan de cours pour l’ensemble des travaux.



Absence à une évaluation

Afin de faire valider une absence à une évaluation en vue d’obtenir un examen de compensation, l’étudiante ou l’étudiant doit utiliser le formulaire prévu à cet effet dans son portail MonÉTS pour un examen final qui se déroule durant la période des examens finaux ou pour tout autre élément d’évaluation surveillé de 15% et plus durant la session. Si l’absence concerne un élément d’évaluation de moins de 15% durant la session, l’étudiant ou l’étudiante doit soumettre une demande par écrit à son enseignante ou enseignant.

Toute demande de validation d’absence doit se faire dans les cinq (5) jours ouvrables suivant la tenue de l’évaluation, sauf dans les cas d’une absence pour participation à une activité prévue aux règlements des études où la demande doit être soumise dans les cinq (5) jours ouvrables avant le jour de départ de l’ÉTS pour se rendre à l’activité.

Toute absence non justifiée par un motif majeur (voir articles 7.2.6.1 du RÉPC et 6.5.2 du RÉCS) entraînera l’attribution de la note zéro (0).




Infractions de nature académique
Les clauses du « Règlement sur les infractions de nature académique de l’ÉTS » s’appliquent dans ce cours ainsi que dans tous les cours du département. Les étudiantes et les étudiants doivent consulter le Règlement sur les infractions de nature académique (www.etsmtl.ca/a-propos/gouvernance/secretariat-general/cadre-reglementaire/reglement-sur-les-infractions-de-nature-academique) pour identifier les actes considérés comme étant des infractions de nature académique ainsi que prendre connaissance des sanctions prévues à cet effet. À l’ÉTS, le respect de la propriété intellectuelle est une valeur essentielle et tous les membres de la communauté étudiante sont invités à consulter la page Citer, pas plagier ! (www.etsmtl.ca/Etudiants-actuels/Baccalaureat/Citer-pas-plagier).

Systèmes d’intelligence artificielle générative (SIAG)
L’utilisation des systèmes d’intelligence artificielle générative (SIAG) dans les activités d’évaluation constitue une infraction de nature académique au sens du Règlement sur les infractions de nature académique, sauf si elle est explicitement autorisée par la personne enseignante du cours ou la personne coordonnatrice dans le cas des stages.



Documentation obligatoire

Notes de cours  MAT215 - Logique et mathématiques discrètes pour l'optimisation, disponibles en version électronique sur la page Moodle du cours.



Ouvrages de références

ROSEN, Kenneth H. Discrete Mathematics and Its Applications, 8e édition, McGraw-Hill. (Suggéré mais non obligatoire.)

Yves Norbert, Roch Ouellet, Régis Parent: Méthodes d’optimisation pour la gestion. Chenelière Éducation, 2016. 2e édition. (Suggéré pour le chapitre modélisation, mais non obligatoire.)

Documentation additionnelle :

  1. ABELSON, H., J. SUSSMAN. Structure et interprétation des programmes informatiques, InterEditions.
  2. COMTET, Louis. Advanced Combinatorics, D. Reidl Publishing Company.
  3. GRAHAM, KNUTH, PATASHNIK. Concrete Mathematics, A Fondation for Computer Science, Addison-Wesley.
  4. ROSEN, Kenneth H. Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics, CRC Press.
  5. STANAT, MC ALLISTER, Discrete mathematics in computer science, Prentice Hall.



Adresse internet du site de cours et autres liens utiles

Site web du cours : https://ena.etsmtl.ca/course/view.php?id=16940#section-1 

Site Moodle TI-nspire à l'ÉTS : https://ena.etsmtl.ca/course/view.php?id=23359#section-1 

Vidéos sur l'utilisation de Nspire à l'ÉTS (chaîne VUnETS sur YouTube) : https://etsmtl.ca/vunets



Autres informations

Les séances de cours et de travaux pratiques des cours-groupes dont le mode d'enseignement est hybride sont offertes entièrement à distance. L'étudiante ou l'étudiant inscrit à un tel cours-groupe n'a donc pas besoin de se déplacer à l'École durant la session, sauf lors des évaluations en présence identifiées à la section "Évaluation".