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École de technologie supérieure

Responsable(s) de cours : Michel Beaudin


PLAN DE COURS

Hiver 2022
MAT805 : Compléments de mathématiques (profil génie mécanique) (4 crédits)


Modalités de la session d’hiver 2022


Pour assurer la tenue de la session d’hiver 2022, les modalités suivantes seront appliquées :


Les activités d’enseignement de la session d’hiver 2022 comprendront des activités en présence et à distance, lesquelles seront ajustées en fonction de l’évolution de la situation socio-sanitaire.


Pour les cours (ou séances de cours) donnés à distance, l’étudiant ou l'étudiante doit avoir accès à un ordinateur, un micro, une caméra et un accès à internet, idéalement de 10Mb/s ou plus. Il ou elle doit ouvrir sa caméra et/ou son micro lorsque requis, notamment pour des fins d’identification ou d’évaluation.


Les cours (ou séances de cours) donnés à distance pourraient être enregistrés afin de les rendre disponibles aux personnes inscrites au cours.


La notation des cours sera la notation régulière prévue aux règlements des études de l’ÉTS.


Les examens (intra, finaux) se feront en présence, si la situation socio-sanitaire le permet.


Le contexte actuel oblige bien sûr l’ÉTS à suivre de près l’évolution de la pandémie de COVID-19, laquelle pourrait entraîner, avant ou après le début de la session d’hiver 2022, un resserrement des directives et recommandations gouvernementales. Nous vous assurons que l’ÉTS se conformera aux règles en vigueur afin de préserver la santé publique et, si requis, qu'elle pourrait aller jusqu’à interdire l’accès physique au campus universitaire et ordonner que toutes les activités d’enseignement et d’évaluation soient exclusivement données à distance pour toute ou pour une partie de la session d’hiver 2022. Ainsi, si les examens (intra, finaux) devaient se faire à distance, leur surveillance se fera à l’aide de la caméra et du micro de l’ordinateur et pourrait être enregistrée. Ceci est nécessaire pour se conformer aux exigences du Bureau canadien d’agrément des programmes de génie (BCAPG) afin d’assurer la validité des évaluations.


Des exigences additionnelles pourraient être spécifiées par l’ÉTS ou votre département, suivant les particularités propres à votre programme.


En vous inscrivant ou en demeurant inscrit à la session d'hiver 2022, vous acceptez les modalités particulières de la session d’hiver 2022.


Nous vous rappelons que vous avez jusqu’au 18 janvier 2022 pour vous désinscrire de vos cours et être remboursé.


Pour les nouveaux étudiants inscrits au programme de baccalauréat uniquement, vous avez jusqu’au 1er février 2022 pour vous désinscrire de vos cours et être remboursé.




Préalables
Aucun préalable requis




Descriptif du cours

Maîtriser la modélisation mathématique des systèmes et les notions de mathématiques avancées souvent rencontrées dans les publications scientifiques et méthodes numériques couramment utilisées pour résoudre les modèles mathématiques des systèmes.

Modélisation mathématique des systèmes continus. Dérivation d'équations aux dérivées partielles. Classification des équations aux dérivées partielles : elliptique, hyperbolique et parabolique. Exemples d'applications physiques. Méthodes de solution : séries de Fourier, fonction de Green, variable complexe. Méthodes variationnelles : fonctionnelle et extremum d'une fonctionnelle, méthode de Ritz, méthodes approchées. Introduction aux tenseurs cartésiens.




Objectifs du cours

Afin de rappeler certains concepts habituellement vus dans des cours d'équations différentielles et de calcul à plusieurs variables, nous commencerons le cours de MAT805 en présentant quelques méthodes de résolution d’équations et de systèmes d’équations non linéaires.  Plusieurs approches seront utilisées: analytiques, graphiques, numériques.  Cela est impensable sans l’ordinateur et ce dernier servira à faire les calculs et à introduire des concepts peu étudiés: formule de Cardan, fonction LambertW, systèmes polynomiaux.  Un autre objectif du cours sera de donner des compléments en équations différentielles incluant les transformées de Laplace et l'importante propriété de convolution. Nous ferons ensuite l’étude des systèmes d’équations différentielles et des problèmes de stabilité, en présentant les outils matriciels requis pour les systèmes linéaires et une résolution numérique pour les systèmes non linéaires.  Nous présenterons la théorie sur les séries de Fourier pour l'appliquer à la résolution de problèmes avec entrées périodiques non triviales ainsi qu'aux équations aux dérivées partielles de la chaleur et des ondes. Un  dernier sujet portera sur les variables complexes, sujet fondamental, riche en applications de toutes sortes et qui permet d’apporter des preuves à certains résultats utilisés durant la session et de donner les formules de simplifications des logarithmes.

 




Stratégies pédagogiques

Trois heures et demie de cours magistral par semaine, de même qu’une séance de travaux pratiques.  Plusieurs exercices vont nécessiter l’utilisation de logiciels de calcul et des exemples d’utilisation de tels logiciels seront donnés en classe. Par conséquent, les étudiants doivent avoir accès à un logiciel de calcul qui pourra être utilisé en tout temps (cours, devoirs, examens).  L’une des principales stratégies pédagogiques employées sera de faire en sorte que mathématiques théoriques et mathématiques appliquées soient réunies en faisant un usage intelligent de la technologie présente. Des concepts théoriques ou abstraits seront illustrés par des exemples concrets sur l’ordinateur.




Horaire
Groupe Jour Heure Activité
01 Mardi 13:30 - 17:00 Activité de cours
Jeudi 15:30 - 17:30 Travaux pratiques



Coordonnées de l’enseignant
Groupe Nom Activité Courriel Local Disponibilité
01 Michel Beaudin Activité de cours Michel.Beaudin@etsmtl.ca B-2532
01 Michel Beaudin Travaux pratiques Michel.Beaudin@etsmtl.ca B-2532



Cours

COURS

MATIÈRE

RÉFÉRENCE

1 à 3

La « magie » des systèmes symboliques. Résolution d’équations et de systèmes d’équations non linéaires : de façon exacte, par méthode du point fixe, par méthode de Newton à une et plusieurs variables.   Formule de Cardan, solutions complexes, fonction LambertW.

Révision et comléments en équations différentielles :  É.D.O. linéaires à coefficients constants; utilisation de la transformée de Laplace et de la convolution; Divers rappels/exercices sur les nombres complexes et fonctions mathématiques souvent rencontrées dans la littérature (« fonctions spéciales »).

 

 

 

Résumé #1

 

 

 

4 à 6

Valeurs et vecteurs propres, diagonalisation, forme de Jordan, exponentielle de matrices. Systèmes d’équations différentielles linéaires à coefficients constants : plan de phase, points critiques et stabilité.

Systèmes d’équation différentielles quasi-linéaires, non linéaires et résolution numérique (Ressort non linéaire, solutions périodiques de systèmes de Volterra-Lotka).

 

 

Résumé #2

 

7

Examen intra: portant sur les 6 premiers cours.

 

8 à 11

Analyse de Fourier et équations aux dérivées partielles. Convergences par point et en moyenne quadratique des séries de Fourier, applications aux problèmes de MHAF et de circuits RLC. Méthode de séparation des variables.

Équation des cordes vibrantes, solution de d’Alembert. Équation de la chaleur. É.D.P. non homogènes, méthodes de changement de variables. Transformations de Fourier. Valeurs propres et fonctions propres d’un système linéaire temps-invariant. Convolution de signaux. Applications des transformées de Fourier et de Laplace à la résolution d’É.D.P.

 

Résumé #3





Résumé #4

 

11 à 13

Fonctions d’une variable complexe : fonctions analytiques, "unwinding number" et formules.  Intégration dans le plan complexe, formule intégrale de Cauchy, séries de puissances et de Laurent. Théorème des résidus.

 

Résumé #5 




Évaluation
  Gr. 01

Devoir #1 : 20 %

(en deux parties) 

Donné vers la mi-janvier. 

Devoir #2 : 20 %

(en deux parties) 

Donné vers la mi-février

Examen intra : 35 %

Durée de 3 heures

Mardi 22 février 2022. Matériel autorisé pour l’examen intra : toute documentation permise et un ordinateur portable équipé d’un système symbolique.
Take-home : 25 %
 
Donné vers la mi-mars, à remettre en fin de session.



Double seuil
Note minimale : 50



Dates des examens intra
Groupe(s) Date
1 22 février 2022



Politique de retard des travaux
Tout travail (devoir pratique, rapport de laboratoire, rapport de projet, etc.) remis en retard sans motif valable, c’est-à-dire autre que ceux mentionnés dans le Règlement des études (1er cycle, article 7.2.7 b / cycles supérieurs, article 6.5.4 b) se verra attribuer la note zéro, à moins que d’autres dispositions ne soient communiquées par écrit par l’enseignant dans les consignes de chaque travail à remettre ou dans le plan de cours pour l’ensemble des travaux.

Dispositions additionnelles

N/A




Absence à un examen
Dans les cinq (5) jours ouvrables suivant la tenue de son examen, l’étudiant devra justifier son absence d’un examen durant le trimestre auprès de la coordonnatrice – Affaires départementales qui en référera au directeur de département. Pour un examen final, l’étudiant devra justifier son absence auprès du Bureau du registraire. Toute absence non justifiée par un motif majeur (maladie certifiée par un billet de médecin, décès d’un parent immédiat ou autre) à un examen entraînera l’attribution de la note (0).



Plagiat et fraude
Les clauses du « Règlement sur les infractions de nature académique de l’ÉTS » s’appliquent dans ce cours ainsi que dans tous les cours du département. Les étudiants doivent consulter le Règlement sur les infractions de nature académique (https://www.etsmtl.ca/docs/ETS/Gouvernance/Secretariat-general/Cadre-reglementaire/Documents/Infractions-nature-academique ) pour identifier les actes considérés comme étant des infractions de nature académique ainsi que prendre connaissance des sanctions prévues à cet effet.  À l’ÉTS, le respect de la propriété intellectuelle est une valeur essentielle et les étudiants sont invités à consulter la page Citer, pas plagier ! (https://www.etsmtl.ca/Etudiants-actuels/Baccalaureat/Citer-pas-plagier).



Documentation obligatoire

Il n'y a pas de références obligatoires. 

Note : plusieurs documents (dont les résumés servant de notes de cours) sont disponibles tout au long de la session sur la page Moodle du cours.

 




Ouvrages de références

KREYSZIG, Erwin, Advanced Engineering Mathematics, 10e édition, Wiley, août 2011.

EPPERSON, JAMES F. An Introduction to Numerical Methods and Analysis, Wiley, 2002.

HUTSON & PYM., Applications of Functional Analysis and Operator Theory, Academic Press, 1980.

KRASNOV, Mikhail et al., Mathématiques supérieures pour ingénieurs et polytechniciens, 2 tomes, De Boeck Université, 1993.

LOPEZ, Robert J., Advanced Engineering Mathematics, Addison-Wesley, 2001.

MAWHIN, Jean.  Analyse.  Fondements, techniques, évolution.  De Boeck Université, 1992.

O’NEIL, Peter V., Engineering Mathematics, 5e édition, Thompson (Brooks/Cole), 2003.

SIMMONS, George F., Differential Equations with Applications and Historical Notes, 2e édition, McGraw-hill, 1991.

BORROS, George & MOLL, Victor H.   Irresistible Integrals.  Symbolic, Analysis and Experiments in the Evalutation of Integrals.  Cambridge University Press, 2004.

 




Adresse internet du site de cours et autres liens utiles

Site Moodle du cours de MAT805.  Par la suite, on accède à tout le contenu du cours en allant vers le groupe 01.

Site personnel de Michel Beaudin:  https://cours.etsmtl.ca/seg/mbeaudin/