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École de technologie supérieure

Responsable(s) de cours :

Michel Beaudin

PLAN DE COURS

Automne 2018
MAT805 : Compléments de mathématiques (profil génie mécanique) (4 crédits)

Préalables
Aucun préalable requis

Descriptif du cours
Maîtriser la modélisation mathématique des systèmes et les notions de mathématiques avancées souvent rencontrées dans les publications scientifiques et méthodes numériques couramment utilisées pour résoudre les modèles mathématiques des systèmes.

Modélisation mathématique des systèmes continus. Dérivation d'équations aux dérivées partielles. Classification des équations aux dérivées partielles : elliptique, hyperbolique et parabolique. Exemples d'applications physiques. Méthodes de solution : séries de Fourier, fonction de Green, variable complexe. Méthodes variationnelles : fonctionnelle et extremum d'une fonctionnelle, méthode de Ritz, méthodes approchées. Introduction aux tenseurs cartésiens.

Objectifs du cours

Afin de créer des liens entres les équations différentielles et le calcul à plusieurs variables — 2 cours normalement suivis au premier cycle —, nous allons, dans un premier temps, présenter quelques méthodes de résolution d’équations et de systèmes d’équations non linéaires, utilisant plusieurs approches : analytiques, dans le cas des systèmes polynomiaux, graphiques et numériques pour le cas général. Cela est impensable sans l’ordinateur. Deuxièmement, nous ferons l’étude des systèmes d’équations différentielles, en présentant les outils matriciels requis, pour les systèmes linéaires, et une résolution numérique pour les systèmes d’équations différentielles non linéaires . Une révision de certains sujets en équations différentielles sera faite dans un exposé dont le niveau n’est manifestement pas celui du premier cycle universitaire. Un troisième objectif est d’appliquer les séries et transformées de Fourier à la résolution de problèmes en équation différentielles et aux dérivées partielles, objectif qui permet une incursion en analyse fonctionnelle. Un quatrième objectif consiste à étudier les variables complexes, sujet fondamental, riche en applications de toutes sortes et qui permet d’apporter des preuves à certains résultats utilisés durant la session. Fait non négligeable pour certains étudiants et ingénieurs, l’analyse complexe permet souvent une révision et/ou une introduction à l’analyse mathématique.

Stratégies pédagogiques

Trois heures et demie de cours magistral par semaine, de même qu’une séance de travaux pratiques. Plusieurs exercices vont nécessiter l’utilisation de logiciels de calcul et des exemples d’utilisation de tels logiciels seront donnés en classe. Par conséquent, les étudiants peuvent apporter leur ordinateur portable en classe : pour les devoirs et l’examen intra, ce sera non seulement utile mais nécessaire. L’une des principales stratégies pédagogiques employées sera de faire en sorte que mathématiques théoriques et mathématiques appliquées soient réunies en faisant un usage intelligent de la technologie présente. Des concepts théoriques ou abstraits seront illustrés par des exemples concrets sur l’ordinateur.

Horaire

Groupe	Jour	Heure	Activité
01	Mardi	13:30 - 17:00	Activité de cours
	Jeudi	15:30 - 17:30	Travaux pratiques

Coordonnées de l’enseignant

Groupe	Nom	Activité	Courriel	Local	Disponibilité
01	Michel Beaudin	Activité de cours	Michel.Beaudin@etsmtl.ca	B-2532

Cours

COURS	MATIÈRE	RÉFÉRENCE
1 à 3	La « magie » des systèmes symboliques. Résolution d’équations et de systèmes d’équations non linéaires : de façon exacte, par méthode du point fixe, par méthode de Newton à une et plusieurs variables. Révision en équations différentielles : É.D.O. linéaires à coefficients constants; utilisation de la transformée de Laplace et de la convolution; Divers rappels/exercices sur les nombres complexes et fonctions mathématiques souvent rencontrées dans la littérature (« fonctions spéciales »).	Résumé #1 Résumé #1
4 à 6	Systèmes d’équations différentielles linéaires à coefficients constants : plan de phase, points critiques et stabilité. Valeurs et vecteurs propres, exponentielle de matrices. Systèmes d’équation différentielles quasi-linéaires, non linéaires et résolution numérique (Ressort non linéaire, solutions périodiques de systèmes de Volterra-Lotka).	Résumé #2
7	Examen intra: portant sur les 6 premiers cours.
8 à 11	Analyse de Fourier et équations aux dérivées partielles. Convergences par point et en moyenne quadratique des séries de Fourier, applications aux problèmes de MHAF et de circuits RLC. Méthode de séparation des variables. Équation des cordes vibrantes, solution de d’Alembert. Équation de la chaleur. É.D.P. non homogènes, méthodes de changement de variables. Transformations de Fourier. Valeurs propres et fonctions propres d’un système linéaire temps-invariant. Convolution de signaux. Applications des transformées de Fourier et de Laplace à la résolution d’É.D.P.	Résumé #3 Résumé #4
11 à 13	Fonctions d’une variable complexe : fonctions analytiques, intégration dans le plan complexe, formule intégrale de Cauchy, séries de puissances et de Laurent. Théorème des résidus : applications diverses en analyse réelle.	Notes de cours au tableau

Évaluation

	Gr. 01
Devoir #1 : 15 %	Donné vers la mi-septembre.
Devoir #2 : 15 %	Donné vers le début d'octobre.
Examen intra : 35 %	Mardi 23 octobre 2018. Matériel autorisé pour l’examen intra : toute documentation permise et un ordinateur portable équipé d’un système symbolique.
Take-home : 35 %	Donné au début de novembre, à remettre lundi le 10 décembre 2018 avant 17h au SEG.

Politique de retard des travaux
Tout travail (devoir pratique, rapport de laboratoire, rapport de projet, etc.) remis en retard sans motif valable, c’est-à-dire autre que ceux mentionnés dans le Règlement des études (1er cycle, article 7.2.7 b / cycles supérieurs, article 6.5.4 b) se verra attribuer la note zéro, à moins que d’autres dispositions ne soient communiquées par écrit par l’enseignant dans les consignes de chaque travail à remettre ou dans le plan de cours pour l’ensemble des travaux.

Dispositions additionnelles

N/A

Absence à un examen
Dans les cinq (5) jours ouvrables suivant la tenue de son examen, l’étudiant devra justifier son absence d’un examen durant le trimestre auprès de la coordonnatrice – Affaires départementales qui en référera au directeur de département. Pour un examen final, l’étudiant devra justifier son absence auprès du Bureau du registraire. Toute absence non justifiée par un motif majeur (maladie certifiée par un billet de médecin, décès d’un parent immédiat ou autre) à un examen entraînera l’attribution de la note (0).

Infractions de nature académique
Les clauses du « Règlement sur les infractions de nature académique de l’ÉTS » s’appliquent dans ce cours ainsi que dans tous les cours du département. Les étudiants doivent consulter le Règlement sur les infractions de nature académique (https://www.etsmtl.ca/A-propos/Direction/Politiques-reglements/Infractions_nature_academique.pdf ) pour identifier les actes considérés comme étant des infractions de nature académique ainsi que prendre connaissance des sanctions prévues à cet effet. À l’ÉTS, le respect de la propriété intellectuelle est une valeur essentielle et les étudiants sont invités à consulter la page Citer, pas plagier ! (https://www.etsmtl.ca/Etudiants-actuels/Baccalaureat/Citer-pas-plagier).

Documentation obligatoire

Il n'y a pas de références obligatoires.

Note : plusieurs documents (dont les résumés) seront disponibles tout au long de la session à l’adresse suivante : https://cours.etsmtl.ca/SEG/mbeaudin/mat805/index.htm

Ouvrages de références

KREYSZIG, Erwin, Advanced Engineering Mathematics, 10^e édition, Wiley, août 2011.

EPPERSON, JAMES F. An Introduction to Numerical Methods and Analysis, Wiley, 2002.

HUTSON & PYM., Applications of Functional Analysis and Operator Theory, Academic Press, 1980.

KRASNOV, Mikhail et al., Mathématiques supérieures pour ingénieurs et polytechniciens, 2 tomes, De Boeck Université, 1993.

LOPEZ, Robert J., Advanced Engineering Mathematics, Addison-Wesley, 2001.

MAWHIN, Jean. Analyse. Fondements, techniques, évolution. De Boeck Université, 1992.

O’NEIL, Peter V., Engineering Mathematics, 5e édition, Thompson (Brooks/Cole), 2003.

SIMMONS, George F., Differential Equations with Applications and Historical Notes, 2e édition, McGraw-hill, 1991.

Adresse internet du site de cours et autres liens utiles

https://cours.etsmtl.ca/SEG/mbeaudin/mat805/index.htm