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Responsable(s) Azzeddine Soulaïmani

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École de technologie supérieure
Département de génie mécanique
Responsable(s) de cours : Azzeddine Soulaïmani


PLAN DE COURS

Hiver 2018
SYS806 : Application de la méthode des éléments finis (4 crédits)



Préalables
Aucun préalable requis




Qualités de l'ingénieur
Label

Qn
Qualité visée dans ce cours  
Qn
  Qualité visée dans un autre cours  
  Indicateur enseigné
  Indicateur évalué
  Indicateur enseigné et évalué



Descriptif du cours
Acquérir des connaissances fondamentales sur la méthode des éléments finis afin de résoudre numériquement les problèmes physiques gouvernés par les équations aux dérivées partielles. Être en mesure de développer et d’utiliser un logiciel d’éléments finis pour modéliser un problème d’analyse des contraintes ou de thermofluide.

Introduction aux concepts fondamentaux : formulation variationnelle des problèmes aux limites (formulation forte, faible et discrète). Méthode de Galerkin. Approximation par éléments. Formulation matricielle. Application à des problèmes unidimensionnels de résistance des matériaux et de transfert de chaleur. Organisation des logiciels d’éléments finis. Familiarisation avec les logiciels commerciaux ANSYS et FEMLAB. Application au calcul des structures (solide 3D, poutres et plaques). Application au transfert de chaleur multidimensionnel. Application aux écoulements incompressibles.

Travaux sur des développements analytiques et de programmation avec MATLAB. Projet synthèse mené tout au long de la session.



Objectifs du cours

Acquérir les connaissances fondamentales sur la méthode des éléments finis afin de résoudre numériquement les problèmes d'ingénieurs gouvernés par les équations aux dérivées partielles. Connaître l'organisation générale des codes d'éléments finis. Réaliser un projet de modélisation numérique. Se familiariser à l'utilisation d'un progiciel commercial de calcul et de visualisation.




Stratégies pédagogiques
  • Séances de cours magistral de trois heures : théorie et applications,
  • Devoirs sur la théorie, le développement de codes et sur l'utilisation d'un code commercial,
  • Travaux dirigées et pratiques portant sur la théorie et l’utilisation de logiciels (3 heures par semaine)
  • Projet de modélisation d'un problème physique (développement d’un code d’éléments finis).

Connaissances préalables requises

  • Maîtrise du calcul matriciel, différentiel et intégral. Maîtrise d’un langage de programmation (Matlab de préférence).



Utilisation d’appareils électroniques

Ordinateurs.




Horaire
Groupe Jour Heure Activité
01 Lundi 08:30 - 12:00 Activité de cours
Jeudi 13:30 - 15:30 Travaux pratiques et laboratoire



Coordonnées de l’enseignant
Groupe Nom Activité Courriel Local Disponibilité
01 Azzeddine Soulaïmani Activité de cours Azzeddine.Soulaimani@etsmtl.ca A-2135



Cours

Contenu détaillé (sujets couverts par période de trois heures).

 

Séance 1 : Méthodes d’approximation de fonctions 

  • Interpolations de Lagrange en 1D,
  • Interpolations continues par morceaux,
  • Élément de référence et coordonnées de référence,
  • Interpolation de Chebyshev,
  • Approximation par les fonctions Splines,
  • Méthode de moindres carrés.

Séance 2 : Différentiation et Intégration numériques en 1D

  • Approximation des dérivées,
  • Méthode des différences finies en 1D,
  • Intégration numérique en 1D: quadratures de Simpson et de Gauss.

Séances 3 et 4 : La  MEF en 1D

  • Méthode des résidus pondérés,
  • Formulation variationnelle forte,
  • Formulation variationnelle faible : méthode de Galerkin,
  • Élément de référence, coordonnées de référence à une dimension,
  • Discrétisation et représentation matricielle,
  • Exemples à une dimension.

Séance 5 : Éléments et fonctions d’interpolation en plusieurs dimensions

  • Approximations polynomiales de Lagrange, terminologie, élément de type C0 et C1,
  • Élément de référence, coordonnées de référence,
  • Éléments en deux dimensions de type C0,
  • Éléments en trois dimensions de type C0,
  • Calcul des dérivées : matrice Jacobienne.

Séances 6 et 7 :  Problèmes aux limites à fonction scalaire en deux dimensions, exemple du transfert de chaleur    

  • Modélisation mathématique du problème,
  • Formulations variationnelles forte et faible,
  • Conditions de convergence : base polynomiale complète, condition de continuité inter-éléments,
  • Discrétisation par éléments finis, intégration numérique et représentation matricielle.
  • Examen Intra

Séance 8 : Problèmes instationnaires

  • Discrétisation en temps par différences finies : schémas explicites et implicites,
  • Résolution par superposition modale,
  • Application au transfert de chaleur.

Séances 9 et 10 : Problèmes aux limites à fonction vectorielle : exemple d’élasticité linéaire

  • Équations d’équilibre en trois dimensions et en plan,
  • Formulations variationnelles forte et faible, principe des travaux virtuels,
  • Conditions de convergence : base polynomiale complète, condition de continuité inter-éléments,
  • Discrétisation par éléments finis, représentation matricielle.
  • Projet : développement d'un programme élémentaire d'éléments finis

Séances 11 et 12 : La contrainte d’incompressibilité

  • La condition d’incompressibilité en élasticité linéaire,
  • La condition d’incompressibilité en écoulements incompressibles: le problème de Stokes,
  • Méthode d’éléments finis stabilisée.

Séance 13 : Aperçu sur les problèmes non linéaires

  • Non linéarités matérielle et géométrique,
  • Algorithmes de résolution : méthodes de Newton-Raphson et quasi-Newton,
  • Plasticité : algorithme de projection



Laboratoires et travaux pratiques

Une séance régulière de trois heures par semaine à partir de la deuxième semaine de début de cours.




Évaluation

 

Devoirs 4 devoirs à remettre à temps sur le site du cours (aucun retard n’est toléré) ayant pour objectif de réviser régulièrement la matière (équipe de 2 étudiants au plus). 1 Quizz sur l’utilisation du logiciel Ansys durant une des séances des laboratoires. 25 %
Projet Un projet consistant à élaborer un programme d’éléments finis pour la résolution d’un problème de structure ou de fluide (équipe de 2 étudiants au plus) 25 %
Examen Intra (date à préciser ultérieurement) 25 %
Examen final (selon le calendrier des examens finaux) 25 %

 

Clause particulière. Pour réussir le cours, il faut obtenir au moins 60 %.




Date de l'examen final
Votre examen final aura lieu pendant la période des examens finaux, veuillez consulter l'horaire à l'adresse suivante : http://etsmtl.ca/Etudiants-actuels/Baccalaureat/Examens-finaux


Politique de retard des travaux
Tout travail (devoir pratique, rapport de laboratoire, rapport de projet, etc.) remis en retard sans motif valable, c’est-à-dire autre que ceux mentionnés dans le Règlement des études (1er cycle, article 7.2.7 b / cycles supérieurs, article 6.5.4 b) se verra attribuer la note zéro, à moins que d’autres dispositions ne soient communiquées par écrit par l’enseignant dans les consignes de chaque travail à remettre ou dans le plan de cours pour l’ensemble des travaux.

Dispositions additionnelles

N/A




Absence à un examen
Dans les cinq (5) jours ouvrables suivant la tenue de son examen, l’étudiant devra justifier son absence d’un examen durant le trimestre auprès de la coordonnatrice – Affaires départementales qui en référera au directeur de département. Pour un examen final, l’étudiant devra justifier son absence auprès du Bureau du registraire. Toute absence non justifiée par un motif majeur (maladie certifiée par un billet de médecin, décès d’un parent immédiat ou autre) à un examen entraînera l’attribution de la note (0).



Plagiat et fraude
Les clauses du « Règlement sur les infractions de nature académique de l’ÉTS » s’appliquent dans ce cours ainsi que dans tous les cours du département. Les étudiants doivent consulter le Règlement sur les infractions de nature académique (https://www.etsmtl.ca/A-propos/Direction/Politiques-reglements/Infractions_nature_academique.pdf ) pour identifier les actes considérés comme étant des infractions de nature académique ainsi que prendre connaissance des sanctions prévues à cet effet.  À l’ÉTS, le respect de la propriété intellectuelle est une valeur essentielle et les étudiants sont invités à consulter la page Citer, pas plagier ! (https://www.etsmtl.ca/Etudiants-actuels/Baccalaureat/Citer-pas-plagier).

Dispositions additionnelles

N/A




Documentation obligatoire

N/A




Ouvrages de références
  1. Notes de cours par A. SOULAIMANI : site internet  https://ena.etsmtl.ca/
  2. Quarteroni et F. Saleri: Scientific Computing with MATLAB
  3. G. Dhatt, G. Touzot & E. Lefrançois : ‘Méthode des éléments finis’, auteurs : G. Dhatt, G. Touzot & E. Lefrançois. Hermes-Lavoisier.
  4. Jacob Fish and Ted Belytschko : A First Course in Finite Elements Jacob Fish. JohnWiley & Sons, Ltd.
  5. Reddy, J.N., ‘An Introduction to the Finite Element Method’, McGraw Hill.
  6. Hughes, T.J.R., ‘The Finite Element Method Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis’, Prentice-hall.



Adresse internet du site de cours et autres liens utiles

https://ens.etsmtl.ca