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École de technologie supérieure
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Responsable(s) de cours :
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Michel Beaudin, El Mostapha Frih
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PLAN DE COURS
Hiver 2018
MAT472 : Algèbre linéaire et géométrie de l'espace (4 crédits)
Préalables
Aucun préalable requis
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Unités d'agrément
Total d'unités d'agrément : 64,8
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Qualités de l'ingénieur
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Qualité visée dans ce cours |
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Qualité visée dans un autre cours |
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Indicateur enseigné |
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Indicateur évalué |
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Indicateur enseigné et évalué |
Descriptif du cours
Au terme de ce cours, l’étudiante ou l’étudiant sera en mesure :
• d’utiliser les outils du calcul différentiel à plusieurs variables et de l’algèbre linéaire dans le but d’analyser les objets 2D et 3D;
• d’effectuer des transformations sur ces objets.
Vecteurs, produits scalaires, vectoriels et mixtes, projection d’un vecteur sur un autre. Équations des droites et plans dans l’espace. Fonctions vectorielles à une variable et applications : courbes, vecteurs position, vitesse et accélération. Fonctions à plusieurs variables, surfaces, dérivées partielles, dérivées directionnelles, gradient; applications géométriques : courbes de niveaux, plans tangents.
Matrices, déterminants, inversion de matrices, systèmes d'équations linéaires, valeurs propres et vecteurs propres. Transformations linéaires et leur interprétation géométrique (rotation, cisaillement, changements d’échelle, projection).
Espace vectoriel. Indépendance linéaire. Base. Dimension. Base orthogonale. Changement de base.
Séances de travaux pratiques composées d'exercices choisis pour illustrer et compléter la théorie vue en classe.
Objectifs du cours
Comprendre et maîtriser les notions de base de l’algèbre linéaire et de la géométrie vectorielle ainsi que du calcul différentiel sur les fonctions à plusieurs variables. L’approche préconisée sera d’utiliser les vecteurs et le calcul différentiel à plusieurs variables pour motiver l’étude des espaces vectoriels et des transformations linéaires. Les transformations linéaires géométriques du plan et des applications en infographie seront étudiées.
Stratégies pédagogiques
Trois heures et demie de cours magistral par semaine pour la présentation de la théorie accompagnée d’exemples tirés du champ d’application des matières enseignées, ainsi que trois heures spécifiquement pour les travaux pratiques.
Les périodes de travaux pratiques permettront de faire des exercices pour approfondir ou compléter les notions vues durant le cours. Les étudiants en profiteront pour définir plusieurs fonctions/procédures qui vont automatiser certains concepts vus en classe. La calculatrice symbolique sera utilisée de façon continue, tout au long de la session : pour automatiser certaines procédures, pour illustrer des concepts pratiques tout comme théoriques et pour visualiser graphiquement des solutions à des problèmes concrets en mathématiques/sciences du génie.
Utilisation d’appareils électroniques
Une calculatrice TI Nspire CX CAS (ou Voyage 200) est requise pour ce cours. Elle sera utilisée pour illustrer des concepts, effectuer des calculs et visualiser des graphiques.
Horaire
| Groupe | Jour | Heure | Activité |
| 01 | Mercredi | 13:30 - 17:00 | Activité de cours |
| Vendredi | 09:00 - 12:00 | Travaux pratiques |
| 02 | Mardi | 09:00 - 12:30 | Activité de cours |
| Jeudi | 09:00 - 12:00 | Travaux pratiques |
Coordonnées de l’enseignant
Cours
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COURS
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MATIÈRE
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RÉFÉRENCE
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HEURES
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1 et 2
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Vecteurs, produits scalaire et vectoriel, projection d’un vecteur sur un autre, vecteurs perpendiculaires.
Se familiariser avec les différentes commandes de la calculatrice relativement aux vecteurs.
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Chapitre 9.1 à 9.4 (Stewart)
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4
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2 et 3
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Équations des droites et plans dans l’espace. Équations de la droite sous formes paramétrique, symétrique.
Différentes formules de distances. Surfaces et champs scalaires.
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Stewart 9.5
Stewart 9.6 et 11.1
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4
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4 et 5
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Fonctions vectorielles, courbes dans l’espace, paramétrisation d’une courbe, dérivées des fonctions vectorielles, vecteur tangent à une courbe, vecteurs position, vitesse et accélération, longueur d’arc. Paramétrisation d’une surface.
Coordonnées sphériques et cylindriques.
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Stewart 10.1 à 10.5
Stewart 9.7
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4
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5 et 6
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Dérivées partielles et applications : plan tangent, différentielle, optimisation avec et sans contraintes.
Automatiser l’analyse des points critiques d’une fonction de 2 variables et la méthode des multiplicateurs de Lagrange.
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Stewart 11.3,
11.4, 11.6 à 11.8
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6
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7
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Examen de trois heures
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3
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8 à 10
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Résolution de systèmes d’équations linéaires par l’algorithme de Gauss Jordan. Interprétation géométrique de l’ensemble solution.
Définitions et opérations sur les matrices : addition, multiplication par un scalaire, multiplication de matrices, transposition, matrice inverse. Matrice d’une transformation linéaire, composition de transformations, interprétation géométrique (rotation, cisaillement, changements d’échelle, projection), coordonnées homogènes.
Applications en infographie. Au besoin, définir sur la calculatrice les matrices utilisées couramment en infographie. Illustrer géométriquement certaines opérations (Nspire CAS).
Déterminants, règle de Cramer.
Savoir utiliser la calculatrice pour les opérations matricielles et même programmer certaines procédures (polynôme d’interpolation de Lagrange par exemple).
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Chapitre 1 de Lay
Chapitre 2 de Lay
Chapitre 3 de Lay
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9
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11 à 13
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Espaces vectoriels, bases, changements de bases. Matrices de transitions, vecteur stabilisé, applications aux chaînes de Markov.
Vecteurs propres et diagonalisation. Utiliser la calculatrice pour trouver, en mode exact si possible, les valeurs propres et des vecteurs propres associés pour une matrice carrée donnée.
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Chapitre 4 de Lay
Chapitre 5 de Lay
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9
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Total
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39
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Laboratoires et travaux pratiques
Trois heures de travail pratique par semaine (Total 36 heures).
Utilisation d'outils d'ingénierie
S.O.
Évaluation
| Évaluations |
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| Minitest et/ou devoirs : 30% |
Indications données en classe par l'enseignant |
| Examen intra : 35% |
Gr. 01 : mercredi 21 février et Gr. 02 : mardi 20 février |
| Examen final : 35% |
Semaines d’examens |
Les examens (intra et final) sont de 3 heures chacun.
Documentation permise à l’examen final : un résumé personnel de 3 feuilles 8 ½ par 11, recto-verso, ainsi qu’une calculatrice symbolique TI.
Dates des examens intra
| Groupe(s) | Date |
| 1 | 21 février 2018 |
| 2 | 20 février 2018 |
Date de l'examen final
Votre examen final aura lieu pendant la période des examens finaux, veuillez consulter l'horaire à l'adresse suivante : http://etsmtl.ca/Etudiants-actuels/Baccalaureat/Examens-finaux
Politique de retard des travaux
Tout travail (devoir pratique, rapport de laboratoire, rapport de projet, etc.) remis en retard sans motif valable, c’est-à-dire autre que ceux mentionnés dans le Règlement des études (1er cycle, article 7.2.7 b / cycles supérieurs, article 6.5.4 b) se verra attribuer la note zéro, à moins que d’autres dispositions ne soient communiquées par écrit par l’enseignant dans les consignes de chaque travail à remettre ou dans le plan de cours pour l’ensemble des travaux.
Absence à un examen
• Pour les départements à l'exception du SEG :
Dans les cinq (5) jours ouvrables suivant la tenue de son examen, l’étudiant devra justifier son absence d’un examen durant le trimestre auprès de la coordonnatrice – Affaires départementales qui en référera au directeur du département. Pour un examen final, l’étudiant devra justifier son absence auprès du Bureau du registraire. Toute absence non justifiée par un motif majeur (maladie certifiée par un billet de médecin, décès d’un parent immédiat ou autre) à un examen entraînera l’attribution de la note zéro (0).
• Pour SEG :
Dans les cinq (5) jours ouvrables suivant la tenue de son examen, l’étudiant devra justifier son absence auprès de son enseignant. Pour un examen final, l’étudiant devra justifier son absence auprès du Bureau du registraire. Toute absence non justifiée par un motif majeur (maladie certifiée par un billet de médecin, décès d’un parent immédiat ou autre) à un examen entraînera l’attribution de la note zéro (0).
Documentation obligatoire
STEWART, James. Analyse, concepts et contextes, Volume 2. Fonctions de plusieurs variables, Extraits. 3e édition, De Boeck Université, 2011.
LAY, David C. Algèbre linéaire et applications, De Boeck, 5ième édition, 2017.
Ces deux livres sont vendus ensemble à la Coop.
Ouvrages de références
S.O.