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Responsable(s) Jean-Philippe Labbé

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École de technologie supérieure

Responsable(s) de cours : Jean-Philippe Labbé


PLAN DE COURS

Hiver 2025
MAT215 : Logique et mathématiques discrètes pour l’optimisation (4 cr.) (4 crédits)





Préalables
Programme(s) : 6556, 7095, 7495
             
  Profils(s) : I  
             
    MAT145    
             
Programme(s) : 6556, 7095, 7495
             
  Profils(s) : P, A, R  
             
    MAT145 ET *INF130    
             
Unités d'agrément
Total d'unités d'agrément : 64,8 100,0 %




Qualités de l'ingénieur

Qn
 Qualité visée dans ce cours  
Qn
   Qualité visée dans un autre cours  
  Indicateur enseigné
  Indicateur évalué
  Indicateur enseigné et évalué



Descriptif du cours
Au terme de ce cours, l’étudiante ou l'étudiant aura acquis les notions fondamentales de la logique mathématique. S’initier aux concepts des mathématiques discrètes utilisés dans les méthodes d’optimisation. Introduction à la logique et son utilisation pour la modélisation de contraintes. Théorie des ensembles : terminologie, notion de fonctions et dénombrement. Rédaction de preuves mathématiques. Introduction aux algorithmes et à l’analyse de la complexité. Principe de récursivité et preuves par récurrence. Théorie des graphes : terminologie, arbres, algorithmes et applications. Séances de travaux pratiques composées d'exercices choisis pour illustrer et compléter la théorie vue en classe. Précision sur le préalable INF130 : ce cours est un cours associé, c'est-à-dire qu'il doit être suivi en même temps que MAT215.



Objectifs du cours
  • Appliquer des méthodes de la logique et des mathématiques discrètes.
  • Résoudre des problèmes à l'aide de la logique et des mathématiques discrètes.
  • Concevoir la preuve d'un résultat mathématique.
  • Analyser la complexité d'algorithmes simples.
  • Communiquer ses démarches de façon claire et structurée.
  • Résoudre des problèmes à l'aide d'un logiciel de calcul symbolique.



Stratégies pédagogiques

Trois heures de cours magistral par semaine. De nombreux exemples seront faits en classe pour permettre aux étudiantes et étudiants de bien assimiler la théorie et les techniques présentées durant le cours.

Les 3 heures hebdomadaires de travaux pratiques pourront servir à travailler les exercices distribués, à demander des éclaircissements sur les notions vues au cours, et à compléter le cours magistral par certaines démonstrations ou certains exemples s’il y a lieu.



Utilisation d’appareils électroniques

Afin de permettre une participation active en classe, il est obligatoire que chaque étudiante et étudiant possède une calculatrice TI-Nspire CX II CAS (ou l'ancien modèle TI-Nspire CX CAS). Ces calculatrices sont en vente à la COOP en combo avec le logiciel Nspire. La calculatrice symbolique sera utilisée tout au long de la session pour illustrer des concepts mathématiques, pour effectuer des calculs, des manipulations algébriques et même pour implémenter certains algorithmes. L’utilisation efficace de cet outil sera vérifiée lors des examens. Pour de l’aide sur l’utilisation de cette calculatrice symbolique, visitez le site http://seg-apps.etsmtl.ca/nspire/.

Voici des objectifs spécifiques d’apprentissage concernant l’utilisation de la calculatrice TI-Nspire CAS CX:

  1. Connaître la syntaxe des expressions logiques.
  2. Connaître le fonctionnement de l’éditeur de programmes et de fonctions.
  3. Définir une relation de récurrence et obtenir les premiers termes.
  4. Effectuer différentes opérations matricielles.

Le programme Excel sera utilisé pour trouver des solutions optimales à des problèmes de programmation linéaire dans le chapitre sur la modélisation. L'utilisation du solveur sera présentée.



Horaire
Groupe Jour Heure Activité
01 Lundi 09:00 - 12:30 Activité de cours
Jeudi 13:30 - 16:30 Travaux pratiques



Coordonnées du personnel enseignant le cours
Groupe Nom Activité Courriel Local Disponibilité
01 Jean-Philippe Labbé Activité de cours Jean-Philippe.Labbe@etsmtl.ca B-1610
01 Jean-Philippe Labbé Travaux pratiques Jean-Philippe.Labbe@etsmtl.ca B-1610



Cours
Cours Matière Chapitres des notes de cours Heures

1 - 2

Logique propositionnelle. Équivalences propositionnelles. Prédicats et quantificateurs. Règles d'inférence. Cohérence d’un ensemble de spécifications.

1

6

3

Types de preuve. Théorie des ensemble : opérations sur les ensembles. Fonctions.

1

3

4

Dénombrement. Principe d'addition et du produit. Structures: permutations, arrangements et combinaisons.

8

3

5

Modélisation. Identification des variables, des contraintes et de la fonction-objectif dans un problème d'optimisation. Solution admissible, solution optimale.

2

3

6

Introduction aux graphes : types de graphes (non-orienté, orienté, arbre), terminologie, représentations et utilisation. Structures reliées: matrice d’adjacence, chemin, cycle (circuit), connexité. Dénombrement de chemins.

3

3

7

Examen intra portant sur les cours 1 à 6

 

3

8-9

Chemins dans les graphes : Chemins et cycles eulériens et hamiltoniens. Problème du plus court chemin (algorithme de Dijkstra), tri topologique (algorithme de Kahn), chemin de poids maximal (chemin critique) et applications.

3

6

 10

Arbres: théorèmes sur les arbres, arbre couvrant de poids minimal (algorithme de Prim).

4

1.5

10-11

Introduction à la complexité des algorithmes: mesurer un temps de calcul à l’aide d’une fonction, notation grand-O et grand-Θ, résolution de sommations, fonction de complexité d’un algorithme. Calcul de complexité d'algorithmes simples.

5

4.5

12

Algorithmes récursifs. Fonctions récursives et relations de récurrence. Algorithmes de type diviser pour régner.

6

3

13

Preuves par récurrence. Principe de récurrence forte. Preuve de validité d’un algorithme récursif. Dénombrement par relation de récurrence.

7

3

Total

39



Laboratoires et travaux pratiques

Trois heures de travail pratique par semaine seront consacrées à travailler les exercices hebdomadaires, à demander des éclaircissements sur les notions vues dans le cours et à compléter le cours magistral par certaines démonstrations ou certains exemples.



Utilisation d'outils d'ingénierie

S.O.


Évaluation
Mode d'évaluation Pondération
 Mini-tests et devoirs 40%
 Examen intra (3h) 30%
 Examen final (3h) 30%

 

Mini-tests et devoirs

La pondération de chaque mini-test et devoir sera inférieure à 15 % de la note finale.

 

Examen intra

L'examen intra est d'une durée totale de 3 heures. Il porte sur le contenu des cours 1 à 6 tel que décrit à la section « Cours ». Les modalités de l'examen seront communiquées par l'enseignante ou l'enseignant  de chaque cours-groupe.

 

Examen final

L’examen final est d’une durée totale de 3 heures. Il comporte deux parties: une première sans la calculatrice et une deuxième où l'usage de la calculatrice TI-Nspire CX CAS est permis. L'examen porte sur le contenu des cours 8 à 13 tel que décrit à la section « Cours ».  L'ordinateur portable et la documentation électronique sont interdits.

Documentation papier permise pour l’examen final (voir la page Moodle du cours pour des copies) :

  • Un résumé personnel d'une (1) feuille 8½ ×11, recto verso, manuscrit ou tapé à l’ordinateur;
  • La feuille « MAT210 et MAT215 - Tables »;
  • La feuille « MAT215 - Théorèmes »;
  • La feuille « MAT215 - Algorithmes ».

 

Double seuil 

Une note moyenne pondérée de 50 % est exigée pour l’ensemble des évaluations à caractère individuel. Ce seuil est une condition nécessaire à la réussite du cours mais ne la garantit pas.



Double seuil
Note minimale : 50



Dates des examens intra
Groupe(s) Date
1 17 février 2025



Date de l'examen final
Votre examen final aura lieu pendant la période des examens finaux, veuillez consulter l'horaire à l'adresse suivante : https://www.etsmtl.ca/programmes-et-formations/horaire-des-examens-finaux


Politique de retard des travaux
Tout travail (devoir pratique, rapport de laboratoire, rapport de projet, etc.) remis en retard sans motif valable, c’est-à-dire autre que ceux mentionnés dans le Règlement des études (1er cycle, article 7.2.5/ cycles supérieurs, article 6.5.2) se verra attribuer la note zéro, à moins que d’autres dispositions ne soient communiquées par écrit par l’enseignante ou l’enseignant dans les consignes de chaque travail à remettre ou dans le plan de cours pour l’ensemble des travaux.



Absence à une évaluation

Afin de faire valider une absence à une évaluation en vue d’obtenir un examen de compensation, l’étudiante ou l’étudiant doit utiliser le formulaire prévu à cet effet dans son portail MonÉTS pour un examen final qui se déroule durant la période des examens finaux ou pour tout autre élément d’évaluation surveillé de 15% et plus durant la session. Si l’absence concerne un élément d’évaluation de moins de 15% durant la session, l’étudiant ou l’étudiante doit soumettre une demande par écrit à son enseignante ou enseignant.

Toute demande de validation d’absence doit se faire dans les cinq (5) jours ouvrables suivant la tenue de l’évaluation, sauf dans les cas d’une absence pour participation à une activité prévue aux règlements des études où la demande doit être soumise dans les cinq (5) jours ouvrables avant le jour de départ de l’ÉTS pour se rendre à l’activité.

Toute absence non justifiée par un motif majeur (voir articles 7.2.6.1 du RÉPC et 6.5.2 du RÉCS) entraînera l’attribution de la note zéro (0).




Infractions de nature académique
Les clauses du « Règlement sur les infractions de nature académique de l’ÉTS » s’appliquent dans ce cours ainsi que dans tous les cours du département. Les étudiantes et les étudiants doivent consulter le Règlement sur les infractions de nature académique (www.etsmtl.ca/a-propos/gouvernance/secretariat-general/cadre-reglementaire/reglement-sur-les-infractions-de-nature-academique) pour identifier les actes considérés comme étant des infractions de nature académique ainsi que prendre connaissance des sanctions prévues à cet effet. À l’ÉTS, le respect de la propriété intellectuelle est une valeur essentielle et tous les membres de la communauté étudiante sont invités à consulter la page Citer, pas plagier ! (www.etsmtl.ca/Etudiants-actuels/Baccalaureat/Citer-pas-plagier).

Systèmes d’intelligence artificielle générative (SIAG)
L’utilisation des systèmes d’intelligence artificielle générative (SIAG) dans les activités d’évaluation constitue une infraction de nature académique au sens du Règlement sur les infractions de nature académique, sauf si elle est explicitement autorisée par l’enseignante ou l’enseignant du cours.



Documentation obligatoire

Notes de cours  MAT215 - Logique et mathématiques discrètes pour l'optimisation, disponibles en version électronique sur la page Moodle du cours.



Ouvrages de références

ROSEN, Kenneth H. Discrete Mathematics and Its Applications, 8e édition, McGraw-Hill. (Suggéré mais non obligatoire.)

Yves Norbert, Roch Ouellet, Régis Parent: Méthodes d’optimisation pour la gestion. Chenelière Éducation, 2016. 2e édition. (Suggéré pour le chapitre modélisation, mais non obligatoire.)

Documentation additionnelle :

  1. ABELSON, H., J. SUSSMAN. Structure et interprétation des programmes informatiques, InterEditions.
  2. COMTET, Louis. Advanced Combinatorics, D. Reidl Publishing Company.
  3. GRAHAM, KNUTH, PATASHNIK. Concrete Mathematics, A Fondation for Computer Science, Addison-Wesley.
  4. ROSEN, Kenneth H. Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics, CRC Press.
  5. STANAT, MC ALLISTER, Discrete mathematics in computer science, Prentice Hall.



Adresse internet du site de cours et autres liens utiles

Site web du cours : https://ena.etsmtl.ca/course/view.php?id=15071 

Site Moodle de la TI-nspire: https://ena.etsmtl.ca/course/view.php?id=23359

Site consacré à la TI-nspire CX CAS : https://seg-apps.etsmtl.ca/nspire/

Vidéos sur l'utilisation de Nspire à l'ÉTS (chaîne VUnETS sur YouTube) : https://etsmtl.ca/vunets



Autres informations

Les séances de cours et de travaux pratiques des cours-groupes dont le mode d'enseignement est hybride sont offertes entièrement à distance. L'étudiante ou l'étudiant inscrit à un tel cours-groupe n'a donc pas besoin de se déplacer à l'École durant la session, sauf lors des évaluations en présence identifiées à la section "Évaluation".