Objectifs généraux

À la fin du cours, l’étudiante ou l'étudiant sera en mesure de :

1. Comprendre les concepts et les méthodes de résolution des équations différentielles ordinaires.
2. Résoudre des problèmes d'application modélisés par des équations différentielles.
3. Utiliser un logiciel de calcul symbolique pour résoudre des problèmes et vérifier des calculs.

Objectifs spécifiques

Dans la 1^re partie du cours :

1. Comprendre les concepts et les méthodes de résolution des équations différentielles ordinaires.
   • Maîtriser les définitions et le vocabulaire en lien avec les équations différentielles.
   • Déterminer si une fonction (relation) est une solution d'une équation différentielle.
   • Résoudre les équations différentielles d'ordre 1 analytiquement avec la méthode appropriée.
   • Déterminer la solution générale d'une équation différentielle d'ordre 2 (et plus) en trouvant la solution homogène et la solution particulière avec la méthode appropriée.
2. Résoudre des problèmes d'application modélisés par des équations différentielles.
   • Interpréter la solution d'une équation différentielle modélisant un phénomène de croissance ou décroissance exponentielle (loi de refroidissement, mouvement rectiligne, circuits RL et RC).
3. Utiliser un logiciel de calcul symbolique pour résoudre des problèmes et vérifier des calculs.
   • Tracer un champ de pentes et des solutions numériques calculées avec la méthode d'Euler.
   • Trouver une solution générale ou particulière à une équation différentielle.

Dans la 2^e partie du cours :

1. Comprendre les concepts et les méthodes de résolution des équations différentielles ordinaires.
   • Résoudre une équation différentielle ou un système d'équations différentielles linéaires avec la transformée de Laplace.
   • Donner la valeur approximative en un point de la solution numérique trouvée avec l'algorithme de Runge-Kutta.
   • Trouver une solution exprimée en série de puissances et déterminer l’intervalle de convergence de cette série.
   • Calculer la série de Fourier d'une fonction périodique.
2. Résoudre des problèmes d'application modélisés par des équations différentielles.
   • Modéliser une force externe à l'aide de fonctions spéciales (delta de Dirac et fonction échelon unité).
   • Interpréter la solution d'une équation différentielle modélisant un oscillateur harmonique (mouvement harmonique et circuit RLC).
   • Déterminer la partie transitoire et le régime permanent de la solution d'un système forcé.
3. Utiliser un logiciel de calcul symbolique pour résoudre des problèmes et vérifier des calculs.
   • Utiliser la librarie ETS_specfunc pour la résolution d'équations différentielles avec la transformée de Laplace.
   • Calculer des coefficients d'une série de puissances à l'aide d'une relation de récurrence.
   • Superposer dans un même graphique la solution numérique obtenue avec Runge-Kutta et la solution obtenue en série de puissances.
   • Calculer les coefficients de Fourier.
   • Tracer une fonction périodique avec les premiers termes de sa série de Fourier.

Trois heures de cours magistral par semaine. De nombreux exemples seront faits en classe pour permettre aux étudiantes et étudiants de bien assimiler la théorie et les techniques présentées durant le cours.

Les 3 heures hebdomadaires de travaux pratiques pourront servir à travailler les exercices distribués, à demander des éclaircissements sur les notions vues au cours, et à compléter le cours magistral par certaines démonstrations ou certains exemples s’il y a lieu.

Une calculatrice symbolique TI Nspire CX II CAS est requise pour ce cours et certaines questions d’examen vont vérifier son utilisation. Elle sera utilisée de façon continue, tout au long de la session : pour automatiser certaines procédures, pour illustrer des concepts pratiques tout comme théoriques et pour visualiser graphiquement des solutions à des problèmes concrets en mathématiques et en sciences du génie. Les logiciels Derive, Maple, Matlab, SageMath ou TI-Nspire CX CAS pourront être présentés par l'enseignante ou l'enseignant et être requis pour certains devoirs.

Devoirs et/ou mini-tests

Votre enseignante ou votre enseignant vous communiquera les modalités de ces évaluations.

Examen intra en deux parties

L'examen intra est d'une durée totale de 3 heures. Il comportera deux parties: une première où la calculatrice est interdite et une deuxième où l'usage de la calculatrice TI-Nspire CX II CAS est autorisé. L'examen intra portera sur le contenu des cours 1 à 6, tel que décrit à la section « Cours ». Votre enseignante ou votre enseignant vous communiquera les modalités et le local de l'examen.

Examen final en deux parties

L’examen final est d’une durée totale de 3 heures. Il comportera deux parties: une première où la calculatrice est interdite et une deuxième où l'usage de la calculatrice TI-Nspire CX II CAS est autorisé. L'examen final portera sur le contenu des cours 8 à 13, tel que décrit à la section « Cours ». L'examen final est commun à tous les groupes de MAT265. L'ordinateur portable et la documentation sur support électronique sont interdits.

Documentation papier permise pour l’examen final :

• Un résumé personnel de 3 feuilles 8½×11, recto verso (6 pages);
• Une table de transformées de Laplace (2 pages);
• Une table de séries de Fourier (2 pages);
• Un aide-mémoire d'algèbre et de trigonométrie (2 pages);
• Une table de règles et formules de dérivation et d'intégration (1 page).

Voir la section « Documents » du Moodle du cours pour des copies de chacune des tables et de l'aide-mémoire.

Double seuil

Une note moyenne pondérée de 50 % est exigée pour l’ensemble des évaluations à caractère individuel. Ce seuil est une condition nécessaire à la réussite du cours mais ne la garantit pas.

Afin de faire valider une absence à une évaluation en vue d’obtenir un examen de compensation, l’étudiante ou l’étudiant doit utiliser le formulaire prévu à cet effet dans son portail MonÉTS pour un examen final qui se déroule durant la période des examens finaux ou pour tout autre élément d’évaluation surveillé de 15% et plus durant la session. Si l’absence concerne un élément d’évaluation de moins de 15% durant la session, l’étudiant ou l’étudiante doit soumettre une demande par écrit à son enseignante ou enseignant.

Toute demande de validation d’absence doit se faire dans les cinq (5) jours ouvrables suivant la tenue de l’évaluation, sauf dans les cas d’une absence pour participation à une activité prévue aux règlements des études où la demande doit être soumise dans les cinq (5) jours ouvrables avant le jour de départ de l’ÉTS pour se rendre à l’activité.

Toute absence non justifiée par un motif majeur (voir articles 7.2.6.1 du RÉPC et 6.5.2 du RÉCS) entraînera l’attribution de la note zéro (0).

PICARD, Gilles. MAT265 Équations différentielles. Notes de cours et exercices : Volume 1 (version de février 2024) et Volume 2 (version de juin 2024)

BOYCE, William E. et Richard C. DIPRIMA. Équations différentielles, Chenelière / McGraw-Hill, 2002.

EDWARDS, C. Henry & David E. PENNY. Differential Equations. Computing and Modeling. 4th Edition. Prentice Hall, 2008.

KOSTELICH, Eric J. & Dieter ARMBRUSTER, Introductory Differential Equations, Addison-Wesley, 1997.

NAGLE, R. K. et E. SAFF. Fundamental of Differential Equation, 7th Edition, Addison Wesley, 2008.

POLKING, BOGGESS et ARNOLD, Differential Equations, Prentice Hall, 2001.

SOUCY, Luc. MAT265 Équations différentielles. Notes de cours et exercices (version de mars 2016).

• Moodle de MAT265
• Moodle de TI-Nspire à l'ÉTS
• Vidéos sur l'utilisation de Nspire à l'ÉTS : VunETS et sa table des matières
• Site internet de Gilles Picard : http://luciole.ca/gilles/mat265/