Contenu détaillé (sujets couverts par période de trois heures).

Séance 1 : Méthodes d’approximation de fonctions 

• Interpolations de Lagrange en 1D,
• Interpolations continues par morceaux,
• Élément de référence et coordonnées de référence,
• Interpolation de Chebyshev,
• Approximation par les fonctions Splines,
• Méthode de moindres carrés.

Séance 2 : Différentiation et Intégration numériques en 1D

• Approximation des dérivées,
• Méthode des différences finies en 1D,
• Intégration numérique en 1D: quadratures de Simpson et de Gauss.

Séances 3 et 4 : La  MEF en 1D

• Méthode des résidus pondérés,
• Formulation variationnelle forte,
• Formulation variationnelle faible : méthode de Galerkin,
• Élément de référence, coordonnées de référence à une dimension,
• Discrétisation et représentation matricielle,
• Exemples à une dimension.

Séance 5 : Éléments et fonctions d’interpolation en plusieurs dimensions

• Approximations polynomiales de Lagrange, terminologie, élément de type C⁰ et C¹,
• Élément de référence, coordonnées de référence,
• Éléments en deux dimensions de type C⁰,
• Éléments en trois dimensions de type C⁰,
• Calcul des dérivées : matrice Jacobienne.

Séances 6 et 7 :  Problèmes aux limites à fonction scalaire en deux dimensions, exemple du transfert de chaleur    

• Modélisation mathématique du problème,
• Formulations variationnelles forte et faible,
• Conditions de convergence : base polynomiale complète, condition de continuité inter-éléments,
• Discrétisation par éléments finis, intégration numérique et représentation matricielle.

• Examen Intra

Séance 8 : Problèmes instationnaires

• Discrétisation en temps par différences finies : schémas explicites et implicites,
• Résolution par superposition modale,
• Application au transfert de chaleur.

Séances 9 et 10 : Problèmes aux limites à fonction vectorielle : exemple d’élasticité linéaire

• Équations d’équilibre en trois dimensions et en plan,
• Formulations variationnelles forte et faible, principe des travaux virtuels,
• Conditions de convergence : base polynomiale complète, condition de continuité inter-éléments,
• Discrétisation par éléments finis, représentation matricielle.

• Projet : développement d'un programme élémentaire d'éléments finis

Séances 11 et 12 : La contrainte d’incompressibilité

• La condition d’incompressibilité en élasticité linéaire,
• La condition d’incompressibilité en écoulements incompressibles: le problème de Stokes,
• Méthode d’éléments finis stabilisée.

Séance 13 : Aperçu sur les problèmes non linéaires

• Non linéarités matérielle et géométrique,
• Algorithmes de résolution : méthodes de Newton-Raphson et quasi-Newton,
• Plasticité : algorithme de projection

Une séance régulière de trois heures par semaine à partir de la deuxième semaine de début de cours.